Función zeta de Igusa

Para un número primo ${\displaystyle p}$ sea ${\displaystyle K}$ un cuerpo p-ádico, es decir ${\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty }$, ${\displaystyle R}$ el anillo de valuación y ${\displaystyle P}$ el ideal máximo. Para ${\displaystyle z\in K}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (z)}$ expresa la valuación de ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle \mid z\mid =p^{-\operatorname {ord} (z)}}$, y ${\displaystyle ac(z)=z\pi ^{-\operatorname {ord} (z)}}$ para un parámetro uniformizante ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle R}$.

Sea ${\displaystyle \phi :K^{n}\mapsto \mathbb {C} }$ una función Schwartz-Bruhat, es decir una función constante local con soporte compacto y sea ${\displaystyle \chi }$ un carácter de ${\displaystyle K*}$.

En este caso se asocia un polinomio no constante ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ a la función zeta de Igusa

${\displaystyle Z_{\phi }(s,\chi )=\int _{K^{n}}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\chi (ac(f(x_{1},\ldots ,x_{n})))|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx}$

donde ${\displaystyle s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,}$ y ${\displaystyle dx}$ es una medida de Haar normalizada de forma tal que ${\displaystyle R^{n}}$ posee una medida unitaria.

Junichi Igusa demostró que ${\displaystyle Z_{\phi }(s,\chi )}$ es una función racional en ${\displaystyle t=q^{-s}}$. La demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades. Sin embargo, se sabe muy poco, en cuanto a fórmulas explícitas. (Existen algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de variedades de Fermat.)

Por tanto, sea ${\displaystyle \phi }$ la función característica de ${\displaystyle R^{n}}$ y ${\displaystyle \chi }$ el carácter trivial. Denótese por ${\displaystyle N_{i}}$ el número de soluciones de la congruencia

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\equiv 0\mod p^{i}}$.

Entonces, la función zeta de Igusa

${\displaystyle Z(s)=\int _{R^{n}}|f(x_{1},\ldots ,x_{n})|^{s}\,dx}$

está relacionada con la serie de Poincaré

${\displaystyle P(t)=\sum _{i=0}^{\infty }p^{-in}N_{i}t^{i}}$

por

${\displaystyle P(t)={\frac {1-tZ(s)}{1-t}},t=p^{-s}.}$

• Este artículo posee información extraída de J. Denef, Report on Igusa's Local Zeta Function, Séminaire Bourbaki 43 (1990-1991), exp. 741; Astérisque 201-202-203 (1991), 359-386