Grado de coherencia

La función de correlación de primer orden normalizada se escribe como

Figura 1: Esto es una representación del valor absoluto de g⁽¹⁾ como función del retraso normalizado a la longitud de coherencia τ/τ_c. La curva azul corresponde a un estado coherente (un láser ideal o una sola frecuencia). La curva roja es para luz caótica Lorentziana (p. ej. amplificada por colisión). La curva verde corresponde a un luz caótica Gaussiana (p. ej. amplificada por efecto Doppler).

${\displaystyle g^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \right]^{1/2}}},}$

donde ${\displaystyle {\displaystyle \langle \cdots \rangle }}$ denota un promedio estadístico sobre ensembles. Para estados no estacionarios, como pulsos, el ensemble está hecho de muchos pulsos. Cuando uno trata con estados estacionarios, donde las propiedades estadísticas no cambian con el tiempo, uno puede reemplazar el promedio sobre realizaciones por un promedio temporal. Si nos restringimos a ondas planas paralelas entonces ${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {r} =z}}$ . En este caso, el resultado para los estados estacionarios no dependerá de ${\displaystyle t_{1}}$, solo de la diferencia de tiempos ${\displaystyle {\displaystyle \tau }=t_{1}-t_{2}}$(o ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}-{\frac {z_{1}-z_{2}}{c}}}$${\displaystyle z_{1}\neq z_{2}}$)

Esto nos permite escribir una forma simplificada

${\displaystyle g^{(1)}(\tau )={\frac {\left\langle E^{*}(t)E(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle \left|E(t)\right|^{2}\right\rangle }},}$

donde el promedio es ahora sobre {\displaystyle t}.

En interferómetros ópticos tales como el interferómetro Michelson, el Mach–Zehnder o el Sagnac, uno divide un campo eléctrico en dos componentes, introduce un retraso de tiempo a una de las componentes y entonces las recombina. La intensidad de campo resultante está medida como función de esta diferencia de tiempos. En este caso concreto que involucra dos intensidades de entrada iguales, la visibilidad del patrón de interferencia resultante está dada por:[1]

${\displaystyle \nu =|g^{(1)}(\tau )|}$

${\displaystyle \nu =\left|g^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|}$

donde la segunda expresión implica evaluar el campo en dos puntos del espacio-tiempo diferentes. El rango de visibilidad va de cero, para campos eléctricos incoherentes, a uno, para campos eléctricos coherentes. Cualquier situación intermedia se define como parcialmente coherente.

Generalmente,

${\displaystyle g^{(1)}(0)=1}$ y ${\displaystyle g^{(1)}(\tau )=g^{(1)}(-\tau )^{*}}$.

La función de correlación de segundo orden normalizada se escribe como

Figura 2: Esto es una representación de g⁽²⁾ como función del retraso normalizado a la longitud de coherencia τ/τ_c. La curva azul es para un estado coherente (un láser ideal o una sola frecuencia). La curva roja es para luz caótica Lorentziana (p. ej. la amplificada por colisión). La curva verde es para luz caótica Gaussiana (p. ej. amplificada por Doppler). La luz caótica es super-Poissoniana y "buncheada".

${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle }}}$

Nota que esto no es una generalización de la coherencia de primer orden.

Si los campos eléctricos se pueden considerar como clásicos, podemos reordenarlos para expresar ${\displaystyle g^{(2)}}$en términos de intensidades. Una onda paralela plana en un estado estacionario verificará

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )={\frac {\left\langle I(t)I(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle I(t)\right\rangle ^{2}}}}$

La expresión anterior es par, esto es ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=g^{(2)}(-\tau )}$. Para campos clásicos, uno puede aplicar la desigualdad de Cauchy–Schwarz a las intensidades de la expresión anterior (dado que son números reales ) para mostrar que

${\displaystyle 1\leq g^{(2)}(0)\leq \infty }$y que ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )\leq g^{(2)}(0)}$. No obstante, la coherencia de segundo de orden para un promedio sobre franjas de salidas complementarias de un interferómetro para un estado coherente es solo 0.5 (incluso aunque ${\displaystyle g^{(2)}=1}$Para cada salida). Y ${\displaystyle g^{(2)}}$(calculado mediante promedio) puede ser reducido hasta cero con una discriminación apropiada del nivel de "trigger" aplicada a la señal (dentro del rango de coherencia).

Una generalización de la coherencia de primer orden:

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots$ ;\mathbf {r} _{2n},t_{2n})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf {r} _{n},t_{n})E(\mathbf {r} _{n+1},t_{n+1})E(\mathbf {r} _{n+2},t_{n+2})\dots E(\mathbf {r} _{2n},t_{2n})\right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \cdots \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2n},t_{2n})\right|^{2}\right\rangle \right]^{1/2}}}}

Una generalización de la coherencia de segundo orden:

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots$ ;\mathbf {r} _{n},t_{n})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf {r} _{n},t_{n})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E(\mathbf {r} _{n},t_{n})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \cdots \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{n},t_{n})\right|^{2}\right\rangle }}}

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots$ ;\mathbf {r} _{n},t_{n})={\frac {\langle I(\mathbf {r} _{1},t_{1})I(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots I(\mathbf {r} _{n},t_{n})\rangle }{\langle I(\mathbf {r} _{1},t_{1})\rangle \langle I(\mathbf {r} _{2},t_{2})\rangle \cdots \langle I(\mathbf {r} _{n},t_{n})\rangle }}}

Figura 3: Esto es una representación de g⁽²⁾ como función del retraso normalizado a la longitud de coherencia τ/τ_c. Un valor de g⁽²⁾ por debajo de la línea discontinua negra solo puede ocurrir en un modelo cuántico de la luz. La curva roja muestra el g⁽²⁾ de luz "antibuncheada" y sub-Poissoniana emitida por un solo átomo estimulado por un haz de láser.

Las predicciones de ${\displaystyle g^{(n)}}$para n > 1 cambiqn cuando los campos clásicos (números complejos o c-números) se reemplazan con campos cuánticos (operadores o q-números). En general, los campos cuánticos no conmutan necesariamente, con la consecuencia de que su orden en los productos de las expresiones de arriba no puede ser intercambiado.

${\displaystyle E^{*}\rightarrow {\hat {E}}^{-}}$

${\displaystyle E\rightarrow {\hat {E}}^{+}.}$

Con

${\displaystyle {\hat {E}}^{-}=-i\left({\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}{\hat {a}}^{\dagger }e^{-i(kz-\omega t)}}$

obtenemos en el caso de luz estacionaria

${\displaystyle g^{(2)}={\frac {\left\langle {\hat {a}}^{\dagger }(t){\hat {a}}^{\dagger }(t+\tau ){\hat {a}}(t+\tau ){\hat {a}}(t)\right\rangle }{\left\langle {\hat {a}}^{\dagger }(t){\hat {a}}(t)\right\rangle ^{2}}}}$

Figura 4: Esto es una representación de g⁽²⁾ como función del retraso normalizado a la longitud de coherencia τ/τ_c. Esto es un ejemplo de una g⁽²⁾ que indica luz "antibuncheada" pero no sub-Poissoniana.

Figura 5: detecciones de fotones como función del tiempo para un a) antibunching (p. ej. luz emitida por un solo átomo), b) luz aleatoria (p. ej. un estado coherente, haz de láser), y c) bunching (luz caótica). τ^c es el tiempo de coherencia (la escala de tiempo de las fluctuaciones del fotón o de la intensidad).

La luz se dice "buncheada" si ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )<g^{(2)}(0)}$y "antibuncheada" si ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )>g^{(2)}(0)}$

• Estadística de Bose-Einstein
• Correlación y dependencia
• La correlación no implica causación

• Loudon, Rodney, The quantum theory of light (Oxford University Press, 2000), ISBN 0-19-850177-3 0-19-850177-3