Grupo de Galois

Supongamos que E es una extensión del cuerpo F. Consideremos el conjunto de todos los automorfismos de cuerpos de E/F; esto es, los isomorfismos α de E a sí mismo, tal que α(x) = x para cada x en F. Este conjunto de automorfismos junto con la operación de composición de funciones forma un grupo G, denotado habitualmente Aut(E/F) o ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{F}E}$.

Si E/F es una extensión de Galois, entonces G es llamado el grupo de Galois de la extensión, y se denota normalmente Gal(E/F). La importancia de que una extensión sea de Galois se debe a que obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois.

Se puede demostrar que E es algebraico sobre F si y sólo si el grupo de Galois es profinito.

En los siguientes casos F es un cuerpo, y C, R, Q son los cuerpos de los números complejos, reales, y racionales, respectivamente. La notación F(a) indica la extensión de cuerpo obtenida por unión de un elemento a al cuerpo F.

• Gal(F/F) es el grupo trivial que tiene un solo elemento, llamado el automorfismo identidad.
• Gal(C/R) tiene dos elementos, el automorfismo identidad y el automorfismo de conjugación compleja.
• Aut(R/Q) es trivial. En efecto, se puede mostar que cualquier Q-automorfismo debe preservar el orden de los números reales y por lo tanto debe ser la identidad.
• Aut(C/Q) es un grupo infinito.
• Gal(Q(√2)/Q) tiene dos elementos, el automorfismo identidad y el automorfismo el cual intercambia √2 y −√2.
• Considérese el cuerpo K = Q(³√2). El grupo Aut(K/Q) contiene únicamente el automorfismo identidad. Esto es porque K no es un extensión normal, puesto que las otras dos raíces cúbicas de 2 (ambas complejas) no se encuentran en la extensión — en otras palabras, K no es un cuerpo de descomposición.
• Considérese ahora L = Q(³√2, ω), donde ω es la tercera raíz primitiva de la unidad. El grupo Gal(L/Q) es isomorfo a S₃, el grupo diédrico de orden 6, y L es, en efecto, el cuerpo de descomposición de x³ − 2 sobre Q.
• Si q es una potencia prima, y si F = GF(q) y E = GF(qⁿ) denota el cuerpos de Galois de orden q y qⁿ respectivamente, entonces Gal(E/F) es cíclico de orden n.
• Si f es un polinomio irreducible de grado primo p con coeficientes racionales y exactamente con dos raíces no reales, entonces el Grupo de Galois de f es el grupo simétrico completoS_p.

La importancia de una extensión que Galois es que obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois: los subgrupos cerrados (con respecto a la topología de Krull mostrada abajo) del grupo de Galois corresponden a cuerpos intermedios de una extensión de cuerpos.

Si E/F es una extensión de Galois, entonces Gal(E/F) puede ser dada una topología, llamada topología de Krull, que lo convierte en un grupo profinito.

• Grupo absoluto de Galois

• Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic algebra I (Second edición), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1.

• Weisstein, Eric W. «Galois Group». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Galois Group en PlanetMath.