Ideal primo

En la teoría de los anillos, una rama de la álgebra abstracta, el concepto de ideal primo es una generalización importante del concepto de número primo. Un ideal primo es un Ideal de un anillo conmutativo o no-conmutativo. Los ideales primos tienen una descripción más sencilla para los anillos conmutativos, por lo que distinguiremos los dos casos abajo.

Para obtener un Teorema Fundamental de la Aritmética (descomposición única en primos) de los números enteros, pero para cualquier entero algebraico, J. W. R. Dedekind generalizó las propiedades de divisibilidad de los números enteros, llevándolo a la introducción de los que llamó ideales.

Ideales primos para anillos conmutativos

Si R es un anillo conmutativo, entonces un ideal P de R se dice que es primo si tiene las siguientes dos propiedades:

  • para cualquier par de elementos a, b del anillo R tales que su producto ab pertenece a P, entonces bien a está en el ideal P o b está en P.
  • P no es el anillo R entero.

Esto generaliza la siguiente propiedad de los números primos: si p es un número primo y si p divide a un producto ab de dos números enteros, entonces p divide a a o bien p divide a b. Podemos decir por tanto que

Un entero positivo n () es un número primo si y sólo si el ideal nZ es un ideal primo en Z.

Ejemplos
  • Si R denota el anillo de polinomios C[X,Y] en dos variables con coeficientes complejos, entonces el ideal generado por el polinomio Y2 − X3 − X − 1 es un ideal primo.
  • En el anillo Z[X] de todos los polinomios con coeficientes enteros, el ideal (2,X) generado por 2 y X es un ideal primo.

Véase también

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