Identidad de Lagrange
En matemática, la identidad de Lagrange es una identidad relacionada con la factorización de productos y sumas de cuadrados. En su forma más simple establece:
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La forma anterior puede generalizarse a un número arbitrario de variables.
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En anillos conmutativos
La forma más directa de demostrar la identidad de Lagrange es hacer uso de desarrollos algebraicos demostrando la validez de la identidad no solo para números reales o complejos sino para elementos de cualquier anillo conmutativo.
Prueba mediante desarrollo algebraico |
Primero hacemos uso de la fórmula para desarrollar una suma elevada al cuadrado:
sustituyendo por : Por otro lado, del binomio al cuadrado podemos despejar y sustituyendo en la suma previa resulta en Pero es la suma de todos los términos de la forma para cualquier par de subíndices y por tanto se puede factorizar como Haciendo la sustitución arroja finalmente equivalente a la identidad que queremos demostrar. |
Interpretación vectorial
Si consideramos los números y como componentes de vectores en :
,
entonces la identidad de Lagrange puede reescribirse en términos de las normas de los vectores y el producto escalar, pues
y
de manera que la identidad de Lagrange se convierte en:
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Sin embargo, cuando , la última suma corresponde al cuadrado de la norma del producto vectorial de los vectores y en dicho caso la identidad de Lagrange se expresa como:
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Bibliografía
- Savchev, Svetoslav; Andreescu, Titu (2003). Mathematical miniatures. Anneli Lax New Mathematical Library (en inglés) 43. The Mathematical Association of America. ISBN 088385645X.
- Weisstein, Eric W. «Lagrange's Identity». Mathworld (en inglés). Consultado el 8 de mayo de 2012.