Identidad de Vandermonde
En combinatoria, la identidad de Vandermonde o convolución de Vandermonde, que recibe su nombre del matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), expresa que:
para coeficientes binomiales. Esta identidad ya había sido descubierta en 1303 por el matemático chino Zhu Shijie (Chu Shi-Chieh).[1]
Existe una q-analogía de este teorema denominada q-identidad de Vandermonde.
Prueba algebraica
En general, el producto de dos polinomios con grados m y n respectivamente, está dado por la ecuación:
en la cual se utiliza la convención de que ai = 0 para todos los enteros i > m y bj = 0 para todos los enteros j > n. Según el teorema del binomio:
Usando el teorema del binomio para los exponentes m y n, y luego la fórmula anterior para el producto de polinomios, se obtiene:
el convenio anteriormente establecido para los coeficientes de los polinomios está de acuerdo con la definición de los coeficientes binomiales, porque ambos dan cero para todo i > m y j > n, respectivamente.
Mediante la comparación de los coeficientes de xr, se observa que la identidad de Vandermonde se cumple para todos los números enteros r con 0 ≤ r ≤ m + n. Para enteros mayores que r, los dos lados de la identidad de Vandermonde son cero debido a la definición de los coeficientes binomiales.
Prueba combinatoria
La identidad de Vandermonde admite una segunda demostración combinatoria, como se desarrolla a continuación. Supóngase que un comité consiste de m hombres y n mujeres. ¿De cuántas maneras puede formarse un subcomité de r miembros? La respuesta es
Además, la solución también es la suma de todos los valores posibles de k para la serie de subcomités que cuentan con k hombres y r − k mujeres:
De la igualdad de ambos valores, se obtiene la identidad de Vandermonde.
Prueba geométrica
Tómese una rejilla rectangular de r · (m + n-r) cuadrados. Entonces, hay
caminos que se inician en el vértice inferior izquierdo, y que moviéndose sólo hacia arriba o hacia la derecha alcanzan el vértice superior derecho (esto es porque r es el número de pasos a la derecha y porque pueden hacerse hasta m + n-r movimientos hacia arriba (o viceversa) en cualquier orden, y la longitud total de la ruta es m + n).
Desígnese el vértice inferior izquierdo como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas, (0,0). Hay caminos que van desde (0,0) hasta (k, m-k), dándose k pasos a la derecha y m-k hacia arriba (la longitud del camino es m). Del mismo modo, hay caminos a partir de (k, m-k) que terminan en (r, m + n-r), con un total de r-k movimientos a la derecha y (m + n-r) - (m-k) hacia arriba, con una longitud del camino que debe ser r-k + (m + n-r) - (m-k) = n. Por lo tanto hay
caminos con origen en (0,0) y final en (r, m + n-r), y que pasan por (k, m-k). Este es un subconjunto de todos los caminos con inició en (0,0) y que terminan en (r, m + n-r), dado que la suma desde k = 0 a k = r (el punto (k, m-k) se limita para que esté dentro de la rejilla) para obtener el número total de caminos iniciados en (0,0) y que terminan en (r, m + n-r).
Identidad generalizada de Vandermonde
Si en la derivación algebraica anteriormente demostrada se utilizan dos polinomios, se obtiene como resultado la identidad de Vandermonde generalizada. Para y + 1 polinomios:
Otra generalizacion de la identidad de Vandermonde se obtiene de la siguiente identidad [2] al evaluar en t=0. Sean . Para :
Distribución de probabilidad hipergeométrica
Cuando ambos lados de la ecuación son divididos por la expresión de la izquierda, el término de la derecha queda igualado a 1, y entonces los términos de la suma se pueden interpretar como probabilidades. La distribución de probabilidad resultante es la distribución hipergeométrica (es el clásico caso de la distribución de probabilidad del número de canicas rojas obtenidas en r extracciones sin reemplazo de una urna que contenga n canicas rojas y m azules).
Identidad de Chu-Vandermonde
La identidad se puede generalizar a argumentos no enteros. En este caso, se conoce como la identidad de Chu-Vandermonde (ver Askey 1975, pp. 59–60) y toma la forma
en general para valores complejos s y t y para cualquier número entero no negativo n. Se puede demostrar a lo largo de las líneas de la prueba algebraica anterior por el producto de Cauchy de series binomiales para y y comparando sus términos con la serie binomial para .
Esta identidad puede ser reescrita en términos de los símbolos de Pochhammer
En esta forma es claramente reconocible como la variante del cálculo de umbral del teorema del binomio. (Para más información sobre las variantes UMBRAL del teorema del binomio, ver tipo binomial). La identidad de Chu-Vandermonde por lo tanto, puede considerarse como un caso especial del teorema hipergeométrico de Gauss, que toma la forma
donde aparecen la función hipergeométrica y la función gamma . La identidad de Chu-Vandermonde se puede recuperar mediante la adopción del cambio a = −n y la aplicación de la identidad
finalmente.
La identidad de Rothe-Hagen es una generalización de esta identidad.
Referencias
- Askey 1975, pp. 59–60 Explica la historia del descubrimiento
- Arciniega-Nevárez, José Antonio; Bergoff, Marko; Dolores-Cuenca, Eric Rubiel (2023). «An algebra over the operad of posets and structural binomial identities». Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana 29. S2CID 246705792. arXiv:2105.06633. doi:10.1007/s40590-022-00478-9.
- Askey, Richard (1975), Orthogonal polynomials and special functions, Regional Conference Series in Applied Mathematics 21, Philadelphia, PA: SIAM, pp. viii+110.