Regla del paralelogramo

Vectores involucrados en la ley del paralelogramo.

En espacios provistos de producto escalar, la definición de la ley del paralelogramo se reduce a la identidad algebraica

${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}}$

donde

${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,}$

es el producto escalar normado.

La mayoría de espacios vectoriales normados reales y complejos no poseen producto interno, pero todos los espacios vectoriales normados tienen norma (por definición), y por lo tanto se puede evaluar las expresiones a ambos lados del "=" en la identidad anterior. Un hecho notable es que si la identidad anterior se mantiene, entonces la norma debe surgir de la manera habitual de algún producto interno. Además, el producto interno que se genera mediante la norma es único, como consecuencia de la identidad de polarización, en el caso real, este viene dado por:[1]

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},\,}$

o, equivalentemente, por

${\displaystyle {\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2}\ \ {\rm {{\acute {o}}\ \ {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.\,}}}$

En el caso complejo, este es dado por

${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.}$

• Paralelogramo
• Desigualdad triangular
• Teorema de Apolonio (o teorema de la mediana).

• The Parallelogram Law Proven Simply en UNLV Kappa Sigma
• Bogomolny, Alexander. «The Parallelogram Law: A Proof Without Words». Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (en inglés).
• Weisstein, Eric W. «Parallelogram Law». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Proof of Parallelogram Law en PlanetMath.