Independencia (probabilidad)

Sean ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ dos sucesos tales que ${\displaystyle P(B)>0}$, intuitivamente A es independiente de B si la probabilidad de A condicionada por B es igual a la probabilidad de A. Es decir si:

${\displaystyle P(A|B)=P(A)\,}$

De la propia definición de probabilidad

${\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}}$

se deduce que ${\displaystyle P(A\cap B)=\ P(A|B)P(B),}$ y dado que ${\displaystyle P(A|B)\ =\ P(A)}$ deducimos trivialmente que ${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)\,}$.

Si el suceso A es independiente del suceso B, automáticamente el suceso B es independiente de A.

Un evento es independiente de sí mismo si y sólo si

${\displaystyle \mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (A\cap A)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (A)\iff \mathrm {P} (A)=0{\text{ or }}\mathrm {P} (A)=1.}$

De esta forma un evento es independiente de sí mismo si y sólo si ocurre casi con certeza, es decir si su probabilidad de aparecer es 1, o si casi con certeza ocurre su complemento, es decir su probabilidad es 0; este hecho es útil cuando se prueban las leyes cero-uno.

Si ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ son independientes y ${\displaystyle C\subset B}$ puede que ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle C}$ no sean independientes. Por ejemplo si ${\displaystyle C=A\cap B}$.

Si ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ son variables aleatorias independientes, entonces la esperanza ${\displaystyle \operatorname {E} }$ tiene la propiedad

${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y],}$

y la covarianza ${\displaystyle \operatorname {cov} [X,Y]}$ es cero, como se sigue de la siguiente expresión

${\displaystyle \operatorname {cov} [X,Y]=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y].}$

Lo contrario no se cumple: si dos variables aleatorias tienen una covarianza igual a 0, es posible que no sean independientes.

Del mismo modo para dos procesos estocásticos ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$ y ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$ : Si son independientes, entonces no están correlacionados.[2]

Dos variables aleatorias ${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle Y}$ son independientes si y solo si la función característica del vector aleatorio ${\displaystyle (X,Y)}$ satisface

${\displaystyle \varphi _{(X,Y)}(t,s)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(s).}$

En particular, la función característica de su suma es el producto de sus funciones características individuales (la implicación inversa no se cumple):

${\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\cdot \varphi _{Y}(t)}$

• P. Ibarrola, L. Pardo y V. Quesada (1997): Teoría de la Probaiblidad, Ed. Síntesis, ISBN 84-7738-516-5.
• Spiegel, Murray. 1970. Estadística, McGraw-Hill, México.
• Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Series in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2
• Rafael Díaz. Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería. Escuela de Ingeniería Eléctrica. Universidad Central de Venezuela. 2000