Integral de línea
En matemáticas, una integral de línea es aquella integral cuya función a integrar es evaluada sobre una curva. Los términos integral de curva, integral curvilínea e integral de trayectoria también son usados; integral de contorno también es usado aunque este término es típicamente usado para integrales de línea en el plano complejo.
La función a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial, también llamadas función escalar y función vectorial respectivamente.
Ejemplos prácticos de aplicación de las integrales de línea pueden ser:
- El cálculo de la longitud de una curva en el espacio.
- El cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
Integral de línea de un campo escalar
Definición
Sea una curva suave a trozos parametrizada por una función , si es un campo escalar continuo, la integral de línea del campo escalar sobre (también llamada integral de trayectoria), está definida como
La función es una parametrización biyectiva arbitraria de donde y son los puntos iniciales y finales respectivamente.
En particular, cuando , entonces obtenemos la longitud de la curva , esto es
Las integrales de línea de campos escalares son independientes de la parametrización de porque solo depende de la longitud del arco y lo son también de la orientación de , esto es, si es una curva simple orientada y denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces
Interpretación
Geométricamente, cuando el campo escalar está definida sobre el plano , su gráfica es una superficie en el espacio, por lo que la integral de línea se interpreta como el área de una valla entre la base de la imagen de y la gráfica de .
Deducción
Para motivar la definición de la integral de línea sobre un campo escalar, consideremos sumas de Riemann .
Comencemos subdividiendo el intervalo por medio de la partición
lo anterior conduce a una descomposición de en trayectorias definidas en el intervalo para , si denotamos la longitud de arco de por entonces
Cuando , es decir, es grande, la longitud de arco es pequeña y es aproximadamente constante para puntos en . Consideremos las sumas
donde está definida para .
Por el teorema del valor medio, donde y . A partir de la teorìa de sumas de Riemann puede demostrarse que
Ejemplo 1
Se desea evaluar la integral de línea
sobre la hélice , .
En primer lugar notemos que
por lo que
Y como
Entonces
Ejemplo 2
Demostremos que la longitud de una circunferencia de radio es , es decir, buscamos hallar
siendo la longitud de una circunferencia de radio .
Por simplicidad, consideremos una circunferencia de radio centrada en el origen, por lo que una posible parametrización es
Dado que
Por lo tanto
Integral de línea de un campo vectorial
Definición
Sean un campo vectorial continuo en una región y una curva suave a trozos parametrizada por una función , la integral de línea del campo vectorial sobre en la dirección de , está definida como
donde es el producto escalar y la función es una parametrización biyectiva arbitraria de donde y son los puntos iniciales y finales respectivamente.
Las integrales de línea de campos vectoriales sólo son independientes de la parametrización de , no son independientes de la orientación de , para este tipo de integrales, si es una curva simple orientada y denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces
Relación con las integrales de línea de campos escalares
Para trayectorias que satisfagan si
denota un vector tangente unitario a entonces
donde , por lo tanto
Forma diferencial
Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente. Considere que es un campo vectorial en de la forma y es una curva parametrizada por entonces
Decimos que la expresión es una forma diferencial. Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales en .
Integrales de línea sobre curvas cerradas
Si es una curva cerrada simple entonces es común la notación
y para la forma diferencial
Teorema fundamental de las integrales de línea
Campo vectorial conservativo
Sea una función continua en la región , decimos que es un campo vectorial conservativo en si existe tal que , en este caso decimos que es un campo potencial de .
Teorema
Si es un campo vectorial conservativo en y una curva suave a trozos parametrizada por una función entonces
En particular, si es una curva orientada cerrada y simple
Lo anterior dice que cuando es un campo vectorial conservativo, la integral de línea de dicho campo sólo dependerá de los puntos extremos de la parametrización . En otras palabras, si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado. Por lo tanto, decimos que la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si (y sólo si) es un campo vectorial conservativo.
Integrales de línea en el plano complejo
En análisis complejo, la integral de línea está definida en términos de la multiplicación y adición de números complejos. Supóngase que es una región abierta en el plano complejo, es una función y es una curva de longitud finita parametrizada por
donde
Si la parametrización es continuamente diferenciable entonces la integral de línea puede ser evaluada como una integral de una función de variable real:
Cuando es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy-Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.