Integral múltiple

La integral es un operador lineal pues satisface

${\displaystyle \int \cdots \int _{D}cf(x_{1},\dots ,x_{n})\;dx_{1}\cdots dx_{n}=c\int \cdots \int _{D}f(x_{1},\dots ,x_{n})\;dx_{1}\cdots dx_{n}}$

${\displaystyle \int \cdots \int _{D}[f(x_{1},\dots ,x_{n})\pm g(x_{1},\dots ,x_{n})]dx_{1}\cdots dx_{n}=\int \cdots \int _{D}f(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}\pm \int \cdots \int _{D}g(x_{1}\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}}$

1. Si ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$ entonces

${\displaystyle \int \cdots \int _{D}f(x_{1},\dots ,x_{n})\;dx_{1}\cdots dx_{n}\geq 0}$

2. Si ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})\geq g(x_{1},\dots ,x_{n})}$ entonces:

${\displaystyle \int \cdots \int _{D}f(x_{1},\dots ,x_{n})\;dx_{1}\cdots dx_{n}\geq \int \cdots \int _{D}g(x_{1},\dots ,x_{n})\;dx_{1}\cdots dx_{n}}$

3. Si ${\displaystyle D}$ es la unión entre las regiones ${\displaystyle D_{1}}$ y ${\displaystyle D_{2}}$ que no solapan entre sí entonces:

${\displaystyle \int \cdots \int _{D}f(x_{1},\dots ,x_{n})\;dx_{1}\cdots dx_{n}=\int \cdots \int _{D_{1}}f(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}+\int \cdots \int _{D_{2}}f(x_{1},\dots ,x_{n})dx_{1}\cdots dx_{n}}$

Cuando el integrando es una función constante ${\displaystyle c}$, la integral es igual al producto entre ${\displaystyle c}$ y la integral sobre la región de integración.

En particular si ${\displaystyle c=1}$ y la región de integración ${\displaystyle D}$ es un subconjunto en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ entonces la integral doble calcula el área de la región, se denota por ${\displaystyle A(D)}$ y está dada por

${\displaystyle A(D)=\iint _{D}dA}$

mientras que si se la región de integración ${\displaystyle D}$ es un subconjunto en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ entonces obtenemos el volumen de la región, se denota por ${\displaystyle V(D)}$ y está dada por

${\displaystyle V(D)=\iiint _{D}dA}$

Considere ${\displaystyle f(x,y)=c\,\!}$ y

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:2\leq x\leq 4\;;\;3\leq y\leq 6\}}$

integrando ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{D}c\;dA&=\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}c\;dxdy\\&=c\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}dxdy\\&=c\;A(D)\\&=c\;(3\times 2)=6c\end{aligned}}}$

En el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función para integrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero).

Considere ${\displaystyle f(x,y)=2\operatorname {sen}(x)-3y^{3}+5}$ y

${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}$

esto es ${\displaystyle T}$ consiste en los puntos dentro de una circunferencia centrada en el origen de radio 1.

Usando la propiedad de linealidad de las integrales, la integral puede ser escrita como

${\displaystyle \iint _{T}(2\operatorname {sen}(x)-3y^{3}+5)\;dxdy=\iint _{T}2\operatorname {sen}(x)\;dxdy-\iint _{T}3y^{3}\;dxdy+\iint _{T}5\;dxdy}$

Dado que ${\displaystyle 2\operatorname {sen}(x)}$ y ${\displaystyle 3y^{3}}$ son funciones impares y existe simetría tanto con respecto al eje ${\displaystyle x}$ como con respecto al eje ${\displaystyle y}$ entonces las primeras dos integrales valen, por lo que la integral original se simplifica a sólo la tercera.

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{T}(2\operatorname {sen}(x)-3y^{3}+5)\;dxdy&=\iint _{T}2\operatorname {sen}(x)\;dxdy-\iint _{T}3y^{3}\;dxdy+\iint _{T}5\;dxdy\\&=\iint _{T}5\;dxdy\\&=5A(T)=5\pi \end{aligned}}}$

A menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda, sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o módulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, una transformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.

Si se utiliza una transformación que siga la relación:

${\displaystyle f(y_{1},\ldots ,y_{n})\rightarrow f(x_{1}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}),\ldots ,x_{n}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}))}$

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

${\displaystyle J={\frac {D(y_{1},\ldots ,y_{n})}{D(x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\begin{vmatrix}\displaystyle {\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &\displaystyle {\frac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\displaystyle {\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &\displaystyle {\frac {\partial y_{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}}$

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

${\displaystyle \int \cdots \int _{D}f(y_{1},\dots ,y_{n})\;dy_{1}\cdots dy_{n}=\int \cdots \int _{T}f(x_{1},\dots ,x_{n})|J|dx_{1}\cdots dx_{n}}$

A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que si se considera ${\displaystyle \rho =(\rho _{1}+\rho _{2})/2}$ (el radio medio), el área de la región polar es efectivamente ${\displaystyle \rho \Delta \rho \Delta \theta }$.

En ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, si una región de integración tiene una simetría circular y la función tiene algunas características particulares entonces uno puede aplicar la transformación de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, lo que significa que para cada punto genérico ${\displaystyle P(x,y)}$ en coordenadas cartesianas cambia a su respectivo punto en las coordenadas polares para simplificar.

La relación para llevar a cabo esta transformación es la siguiente:

${\displaystyle f(x,y)\to f(r\cos \theta ,r\operatorname {sen} \theta )}$

esto es

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\operatorname {sen} \theta \end{aligned}}}$

donde ${\displaystyle r\geq 0}$ y ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$.

De lo anterior se tiene que

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=(r\cos \theta )^{2}+(r\operatorname {sen} \theta )^{2}\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&=r^{2}\left(\cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta \right)\\&=r^{2}\end{aligned}}}$

El determinante jacobiano de la transformación es:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\operatorname {sen} \theta \\\operatorname {sen} \theta &r\cos \theta \end{vmatrix}}=r}$

el cual fue obtenido insertando las derivadas parciales de ${\displaystyle x=r\cos \theta }$ y ${\displaystyle y=r\operatorname {sen} \theta }$ en la primera columna con respecto a ${\displaystyle r}$ y en la segunda con respecto a ${\displaystyle \theta }$, por lo que los diferenciales ${\displaystyle dxdy}$ se transforman en ${\displaystyle rdrd\theta }$

Una vez transformada la función y la región de integración, es posible definir una fórmula para el cambio de variables en coordenadas polares:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\;dA=\iint _{T}f(r\cos \theta ,r\operatorname {sen} \theta )r\;dA'}$

donde ${\displaystyle dA'=drd\theta }$ o ${\displaystyle dA'=d\theta dr}$. En ocasiones en lugar de utilizar ${\displaystyle r}$, es común utilizar ${\displaystyle \rho }$ en cuyo caso obtendríamos

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\;dA=\iint _{T}f(\rho \cos \theta ,\rho \operatorname {sen} \theta )\rho \;dA'}$

Por ejemplo, si la función es ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ entonces aplicando la transformación se obtiene

${\displaystyle f(r,\theta )=r\cos \theta +r\operatorname {sen} \theta =r(\cos \theta +\operatorname {sen} \theta )}$

Considere la región

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 9,x^{2}+y^{2}\geq 4,y\geq 0\right\}}$

aplicando la transformación obtenemos la siguiente región

${\displaystyle T=\left\{(r,\theta ):2\leq r\leq 3,0\leq \theta \leq 2\pi \right\}}$

Si ${\displaystyle f(x,y)=x}$ entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{D}x\;dA&=\iint _{T}r\cos \theta \;r\;dA'\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{2}^{3}r^{2}\cos \theta \;drd\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }\cos \theta \;d\theta \int _{2}^{3}r^{2}dr\\&=0\end{aligned}}}$

Gráfica de las Coordenadas Cilíndricas (Se muestra el ángulo θ como φ)

En ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, la integración sobre regiones con base circular puede ser hecha transformando a coordenadas cilíndricas. La función se transforma mediante la siguiente relación:

${\displaystyle f(x,y,z)\to f(r\cos \theta ,r\operatorname {sen} \theta ,z)}$

esto es

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\operatorname {sen} \theta \\z&=z\end{aligned}}}$

con ${\displaystyle r\geq 0}$, ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$ y ${\displaystyle z\geq 0}$.

De lo anterior se tiene que

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=(r\cos \theta )^{2}+(r\operatorname {sen} \theta )^{2}\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&=r^{2}\left(\cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta \right)\\&=r^{2}\end{aligned}}}$

El determinante jacobiano de la transformación es:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\operatorname {sen} \theta &0\\\operatorname {sen} \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=r}$

Una vez transformada la función y la región de integración, es posible definir una fórmula para el cambio de variables en coordenadas cilíndricas:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\;dV=\iiint _{T}f(r\cos \theta ,r\operatorname {sen} \theta ,z)r\;dV'}$

donde ${\displaystyle dV'}$ representa los posibles órdenes de integración. En ocasiones suele utilizarse ${\displaystyle \rho }$ en lugar de ${\displaystyle r}$ en cuyo caso tendríamos

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\;dV=\iiint _{T}f(\rho \cos \theta ,\rho \operatorname {sen} \theta ,z)r\;dV'}$

Considere la región

${\displaystyle D=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}\leq 9,-5\leq z\leq 5\right\}}$

utilizando la transformación obtenemos

${\displaystyle T=\left\{(r,\theta ,z):0\leq r\leq 3,0\leq \theta \leq 2\pi ,-5\leq z\leq 5\right\}}$

si ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z}$ entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)dV&=\iiint _{T}\left(r^{2}+z\right)r\;dV'\\&=\int _{-5}^{5}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{3}\left(r^{2}+z\right)r\;dr\;d\theta \;dz\\&=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{-5}^{5}\int _{0}^{3}\left(r^{3}+rz\right)dr\;dz\\&=405\pi \end{aligned}}}$

Gráfica de las coordenadas esféricas

Cuando existe simetría esférica en un dominio en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, es posible utilizar una transformación hacia coordenadas esféricas para simplificar una integral triple. La función es transformada por la relación:

${\displaystyle f(x,y,z)\to f(\rho \cos \theta \operatorname {sen} \phi ,\rho \operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \phi ,\rho \cos \phi )}$

esto es

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \theta \operatorname {sen} \phi \\y&=\rho \operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \phi \\z&=\rho \cos \phi \end{aligned}}}$

con ${\displaystyle \rho \geq 0}$, ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$ y ${\displaystyle 0\leq \phi \leq \pi }$.

De lo anterior se tiene que

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}&=(\rho \cos \theta \operatorname {sen} \phi )^{2}+(\rho \operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \phi )^{2}+(\rho \cos \phi )^{2}\\&=\rho ^{2}\cos ^{2}\theta \operatorname {sen} ^{2}\phi +\rho ^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta \operatorname {sen} ^{2}\phi +\rho ^{2}\cos ^{2}\phi \\&=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\theta \operatorname {sen} ^{2}\phi +\operatorname {sen} ^{2}\theta \operatorname {sen} ^{2}\phi +\cos ^{2}\phi \right)\\&=\rho ^{2}\left(\operatorname {sen} ^{2}\phi (\cos ^{2}\theta +\operatorname {sen} ^{2}\theta )+\cos ^{2}\phi \right)\\&=\rho ^{2}\left(\operatorname {sen} ^{2}\phi +\cos ^{2}\phi \right)\\&=\rho ^{2}\end{aligned}}}$

El determinante jacobiano de la transformación es el siguiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \rho }}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \rho }}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial z}{\partial \rho }}&{\frac {\partial z}{\partial \theta }}&{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\end{vmatrix}}\\&={\begin{vmatrix}\cos \theta \operatorname {sen} \phi &-\rho \operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \phi &\rho \cos \theta \operatorname {sen} \phi &\rho \operatorname {sen} \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \operatorname {sen} \phi \end{vmatrix}}\\&=\rho ^{2}\operatorname {sen} \phi \end{aligned}}}$

Una vez transformada la función y la región de integración, es posible definir una fórmula para el cambio de variables en coordenadas esféricas:

${\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\;dV=\iiint _{T}f(\rho \cos \theta \operatorname {sen} \phi ,\rho \operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \phi ,\rho \cos \phi )\rho ^{2}\operatorname {sen} \phi \;dV'}$

Considere la región

${\displaystyle D=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}}$

utilizando la transformación obtenemos

${\displaystyle T=\left\{(\rho ,\theta ,\varphi ):0\leq \rho \leq 1,0\leq \theta \leq 2\pi ,0\leq \varphi \leq \pi \right\}}$

si ${\displaystyle f(x,y,z)=\exp {\sqrt {(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3}}}}$ entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\iiint _{D}\exp {\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\;dV&=\iiint _{T}e^{\rho ^{3}}\rho ^{2}\operatorname {sen} \varphi \;dV'\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\rho ^{2}e^{\rho ^{3}}\operatorname {sen} \varphi \;d\varphi \;d\theta \;d\rho \\&=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{1}\rho ^{2}e^{\rho ^{3}}d\rho \int _{0}^{\pi }\operatorname {sen} \varphi \;d\varphi \\&=2\pi \left({\frac {e-1}{3}}\right)(2)\\&={\frac {4\pi (e-1)}{3}}\end{aligned}}}$

El volumen de un cilindro con altura ${\displaystyle h}$ y base circular de radio ${\displaystyle R}$ puede ser calculado con una integral triple utilizando coordenadas cilíndricas, si la región ${\displaystyle D}$ dada por

${\displaystyle D=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}\leq R^{2},0\leq z\leq h\right\}}$

representa el cilindro entonces utilizando la transformación adecuada obtenemos la región ${\displaystyle T}$ dada por

${\displaystyle T=\left\{(r,\theta ,z):0\leq \theta \leq 2\pi ,0\leq r\leq R,0\leq z\leq h\right\}}$

por lo que el volumen del cilindro puede calcularse como

${\displaystyle {\begin{aligned}V(D)&=\iiint _{D}dV\\&=\iiint _{T}r\;dV'\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{R}\int _{0}^{h}r\;dz\;dr\;d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{R}r\;dr\int _{0}^{h}dz\\&=2\pi \left({\frac {R^{2}}{2}}\right)h\\&=\pi R^{2}h\end{aligned}}}$

Para demostrar que el volumen de una esfera de radio ${\displaystyle r}$ es ${\textstyle {\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$ consideremos la región ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{3}}$ dada por

${\displaystyle G=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq r^{2}\right\}}$

esto es, ${\displaystyle G}$ contiene todos los puntos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dentro de una esfera centrada en el origen y con radio ${\displaystyle r}$. Si utilizamos coordenadas esféricas entonces obtendremos la región ${\displaystyle S}$ dada por

${\displaystyle S=\left\{(\rho ,\theta ,\varphi ):0\leq \rho \leq r,0\leq \theta \leq 2\pi ,0\leq \varphi \leq \pi \right\}}$

por lo que el volumen de una esfera puede calcularse como

${\displaystyle {\begin{aligned}V(G)&=\iiint _{G}dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\operatorname {sen} \varphi \;dV'\\&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{r}\rho ^{2}\operatorname {sen} \varphi \;d\rho \;d\varphi \;d\theta \\&=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\pi }\operatorname {sen} \varphi \;d\varphi \int _{0}^{r}\rho ^{2}d\rho \\&=2\pi \left(-\cos \varphi {\bigg |}_{0}^{\pi }\right)\left({\frac {\rho ^{3}}{3}}{\bigg |}_{0}^{r}\right)\\&=2\pi (2)\left({\frac {r^{3}}{3}}\right)\\&={\frac {4\pi r^{3}}{3}}\end{aligned}}}$