Integral elíptica

La integral elíptica completa de primera especie ${\displaystyle K}$ se define como:

${\displaystyle K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-x^{2}v^{2})}}}}$

y puede expresarse como una serie de potencias como

${\displaystyle K(x)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}x^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(P_{2n}(0)\right)^{2}x^{2n}}$

donde ${\displaystyle P_{n}}$ es el polinomio de Legendre, la expresión anterior es equivalente a

${\displaystyle K(x)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}x^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}x^{4}+\cdots +\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}x^{2n}+\cdots \right)}$

donde ${\displaystyle n!!}$ denota el doble factorial.

La ecuación diferencial para la integral elíptica de primera especie es

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x(1-x^{2}){\frac {dK(x)}{dx}}\right)=xK(x)}$

Una segunda solución para esta ecuación es ${\displaystyle K\left(1-x^{2}\right)}$, esta solución satisface la relación

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}K(x)={\frac {E(x)}{x(1-x^{2})}}-{\frac {K(x)}{x}}}$

La integral elíptica incompleta de primera especie F se define como:

${\displaystyle u=F(x,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{\operatorname {sen} \varphi }{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-x^{2}v^{2})}}}=F_{x}(\varphi )}$

En este caso el parámetro ${\displaystyle \varphi =\operatorname {am} (u)}$ se llama "amplitud" y si se toma x como un parámetro. Esta "amplitud" viene dada por la inversa de la función anterior F. Las funciones elípticas de Jacobi se definen a partir de esta amplitud.

La transformación de Landen permite expresar integrales elípticas incompletas de un parámetro en integrales elípticas de otro parámetro diferente. Puede probarse que si definimos una nueva amplitud φ₁ y un nuevo parámetro k₁, relacionadas con la antigua amplitud φ y el antiguo parámetro k mediante:

${\displaystyle k_{1}={\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\qquad \tan \varphi ={\frac {\operatorname {sen} 2\varphi _{1}}{k+\cos 2\varphi _{1}}}}$

Entonces existe una relación simple entre las integrales elípticas incompletas asociadas a los parámetros (k₁,φ₁) y (k,φ) dada por:

${\displaystyle F(k,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}={\frac {1}{1+k}}\int _{0}^{\varphi _{1}}{\frac {d\theta _{1}}{\sqrt {1-k_{1}^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta _{1}}}}}$

Este resultado puede aplicarse iterativamente para calcular las integrales elípticas incompletas en términos de funciones elementales y límites. Si definimos las sucesiones:

${\displaystyle k_{i}={\frac {2{\sqrt {k_{i+1}}}}{1+k_{i}}}\qquad \tan \varphi _{i}={\frac {\operatorname {sen} 2\varphi _{i+1}}{k+\cos 2\varphi _{i+1}}}}$

Entonces tenemos que:

${\displaystyle F(k_{0},\varphi _{0})={\sqrt {\frac {k_{1}k_{2}k_{3}\dots }{k_{0}}}}\int _{0}^{\Phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\operatorname {sen} ^{2}\theta }}}={\sqrt {\frac {k_{1}k_{2}k_{3}\dots }{k_{0}}}}\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\Phi }{2}}\right)}$

Donde:

${\displaystyle \Phi =\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}}$

La integral elíptica completa de segunda especie ${\displaystyle E}$ se define como:

${\displaystyle E(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-x^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}\ d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-x^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\ dt}$

La integral elíptica de segunda especie puede expresarse como la serie de potencias

${\displaystyle E(x)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}{\frac {x^{2n}}{1-2n}}}$

que es equivalente a

${\displaystyle E(x)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}x^{2}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {x^{4}}{3}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}{\frac {x^{6}}{5}}-\dots \left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {x^{2n}}{2n-1}}-\dots \right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dE(x)}{dx}}={\frac {E(x)-K(x)}{x}}\\&(x^{2}-1){\frac {d}{dx}}\left(x{\frac {dE(x)}{dx}}\right)=xE(x)\end{aligned}}}$

La integral elíptica incompleta de segunda especie es una función de dos variables que generaliza a la integral completa:

${\displaystyle E(x,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-x^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }}\;d\theta =\int _{0}^{\operatorname {sen} \varphi }{\frac {\sqrt {1-x^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;dt}$

Las integrales elípticas de tercera especie aparecen de modo natural en la integración de las ecuaciones de movimiento de un péndulo esférico.

• Weisstein, Eric W. «Integral elíptica». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Abramowitz, M. & Stegun, I. A. (eds.): "Elliptic Integrals", Ch. 17. En Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables, 9th printing, Nueva York: Dover, pp. 587-607, 1972.