Integración indefinida

La primitiva es lineal, es decir:

1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.
2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitiva de f + g es F + G.

La linealidad se puede expresar como sigue:

${\displaystyle \int (k\cdot f\left(x\right)+l\cdot g\left(x\right))=k\cdot \int {f\left(x\right)}+l\cdot \int {g\left(x\right)}}$

En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

En efecto, según la figura, las áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(-a) = F(a) - F(0). Si F(0) = 0, F(-a) = - F(a): F es impar.

Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).

En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.

Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación:

El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f ^-1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos). Se pasa de la primera curva, la de f, a la segunda, la de f ^-1 aplicando la simetría axial alrededor de la diagonal y = x.

El interés de esta fórmula es permitir el cálculo de la integral de f ^-1 sin conocer una primitiva; de hecho, ni hace falta conocer la expresión de la Función inversa.

Cualquier función continua sobre ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ admite localmente una antiderivada o primitiva. Sin embargo en espacios de dimensión finita la continuidad no garantiza la existencia de antiderivadas. Una condición suficiente de existencia de antiderivadas es que la imagen pertenezca a un espacio vectorial conveniente, también llamado ${\displaystyle \scriptstyle c^{\infty }}$-completo. La propiedad definitoria de dichos espacios es que toda función ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to E}$ con ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ,E)}$ admite una función primitiva. Si el espacio no es ${\displaystyle \scriptstyle c^{\infty }}$-completo la continuidad o incluso la suavidad de una función no garantiza la existencia de antiderivadas.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

${\displaystyle \int _{a}^{b}(k\cdot {\mbox{f}}(x)+l\cdot {\mbox{g}}(x))dx=k\cdot \int _{a}^{b}{\mbox{f}}(x)dx+l\cdot \int _{a}^{b}{\mbox{g}}(x)dx\,\!}$

Aquí están las principales funciones primitivas:

Función ${\displaystyle F\,\!}$: primitiva de ${\displaystyle f\,\!}$	función ${\displaystyle f\,\!}$: derivada de ${\displaystyle F\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+k\,\!}$	${\displaystyle {\begin{matrix}f'\left(x\right)=x^{n}&&\mathrm {,para} &n\neq -1\end{matrix}}\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)=e^{x}+k\,\!}$	${\displaystyle f'\left(x\right)=e^{x}\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)=\ln \left(x\right)+k\,\!}$	${\displaystyle f'\left(x\right)={\frac {1}{x}}\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {x^{1-n}}{1-n}}+k\,\!}$	${\displaystyle {\begin{matrix}f'\left(x\right)={\frac {1}{x^{n}}}&&\mathrm {,para} &n\neq 1\end{matrix}}\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)=-\cos \left(x\right)+k\,\!}$	${\displaystyle f'\left(x\right)=\sin \left(x\right)\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)=\sin \left(x\right)+k\,\!}$	${\displaystyle f'\left(x\right)=\cos \left(x\right)\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)=\tan \left(x\right)+k\,\!}$	${\displaystyle f'\left(x\right)={\frac {1}{\cos ^{2}\left(x\right)}}\,\!}$
${\displaystyle {\begin{matrix}f\left(x\right)={\frac {a^{x}}{\ln(a)}}+k&&\mathrm {,si} &a>0\end{matrix}}\,\!}$	${\displaystyle f'\left(x\right)=a^{x}\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {2}{3}}{\sqrt {x}}^{3}+k\,\!}$	${\displaystyle f'\left(x\right)={\sqrt {x}}\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)=ax+k\,\!}$	${\displaystyle f'\left(x\right)=a\,\!}$
${\displaystyle f\left(x\right)=\arctan(x)+k\,\!}$	${\displaystyle f'\left(x\right)={\frac {1}{1+x^{2}}}\,\!}$

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x). Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x². 2x es la derivada de x², 3x² es la de x³, por lo tanto 2x - 3x² tiene como primitiva x² - x³ + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x₀) = y₀ (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Tenemos varios métodos a nuestra disposición:

• La linealidad de la integración nos permite descomponer integrales complicadas en otras más sencillas.
• Integración por sustitución, a menudo combinada con identidades trigonométricas o el logaritmo neperiano.
• Integración por partes para integrar productos de funciones.
• El método de la regla de la cadena inversa, un caso especial de la integración por sustitución.
• El método de fracciones parciales nos permite integrar todas las funciones racionales (fracciones de dos polinomios).
• El algoritmo de Risch.
• Integrales también pueden calcularse utilizando tablas de integrales.