Integral multiplicativa

En su forma más básica las integrales pueden entenderse como el límite de una serie que calcula el área cerrada debajo del gráfico de la función ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \int f(x)dx=\lim _{\Delta x\to 0}\sum {f(x_{i}){\Delta x}}}$

Las integrales multiplicativas son similares sólo que en vez de calcular el límite de una suma, calculan el límite de un producto.

${\displaystyle \;\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {f(x)^{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}}$

Se puede entender como un producto «continuo» en vez de un producto «discreto».

Ahora bien, a diferencia de las integrales normales, existen diferentes tipos de integrales multiplicativas, que debido a la falta de terminología ampliamente aceptada, se designarán de forma arbitraria como los Tipos I hasta III de más abajo.

Tipo I:

${\displaystyle \;\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {f(x)^{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp(\int _{a}^{b}{\ln(f(x))dx})}$

Tipo II:

${\displaystyle \;\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {1+f(x)\,{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {(1+f(x_{i}){\Delta x})}}$

Tipo III (sin dx):

${\displaystyle \;\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {f(x)}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})}=\exp(\int _{a}^{b}{\ln(f(x))})}$

(nota: hay que determinar las condiciones en las que ${\displaystyle f(x),a,b}$ converge y en el caso del último tipo también debe describirse la partición del dominio para calcular el límite)

Los argumentos (${\displaystyle x}$) de las expresiones de arriba pueden ser tanto variables reales como matrices (ver las referencias de Gill más abajo).

Igual que en las integrales normales, las integrales multiplicativas tienen resultados equivalentes (para f(x), a, b adecuados) como son:

• El teorema fundamental

${\displaystyle \;\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {f^{*}(x)^{dx}}=\sideset {}{_{a}^{b}}\prod {\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}dx\right)}={\frac {f(b)}{f(a)}}}$

donde ${\displaystyle f^{*}(x)=\exp(f'(x)/f(x))}$ es la derivada multiplicativa (o m-derivada).

• Regla del producto

${\displaystyle \;(fg)^{*}=f^{*}g^{*}}$

• Regla del cociente

${\displaystyle \;(f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}}$

• Ley de los grandes números

${\displaystyle \;{\sqrt[{n}]{X_{1}\cdot X_{2}\cdot \ldots \cdot X_{n}}}\to \sideset {}{}\prod _{x}{X^{\operatorname {Pr} (x)dx}}\;{\text{cuando}}\;n\to \infty }$

siendo X una variable aleatoria de distribución de probabilitad Pr(x)).

Comparación con la ley de los grandes números estándar:

${\displaystyle \;{\frac {X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}{n}}\;\to \;\int X\cdot \operatorname {Pr} (x)dx\;{\text{cuando}}\;n\to \infty }$

(Nótese que lo que se expone más arriba es por el tipo I de integrales multiplicativas. Los otros tipos dan otros resultados).

• W. P. Davis, J. A. Chatfield, "Concerning Product Integrals and Exponentials" Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, No. 4 (Aug., 1970), pp. 743-747, doi:10.2307/2036741
• Volterra, V., Hostinsky, B, "Operations Infinitesimales Lineaires", Gauthier-Villars, Paris (1938).
• Dollard, John D., Friedman, Charles, N., "Product integrals and the Schrödinger Equation", Journ. Math. Phys. 18 #8,1598-1607 (1977).

• Richard Gill "Product Integration" Archivado el 17 de abril de 2007 en Wayback Machine.
• Richard Gill "Product Integral Symbol"
• David Manura "Product Calculus"
• Tyler Neylon "Easy bounds for n!"
• An Introduction to Multigral (Product) and Dx-less Calculus
• Notes On the Lax equation
• http://www.vc.ehu.es/campus/centros/farmacia/deptos-f/depme/profesor/gracia/InteMult.pdf