Integral senoidal

Gráfico de Si(x) para 0 ≤ x ≤ 8π.

Las diferentes definiciones son:

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen} t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)}$ es la primitiva de ${\displaystyle \operatorname {sen} x/x}$ que es cero para ${\displaystyle x=0}$; ${\displaystyle {\rm {si}}(x)}$ es la primitiva de ${\displaystyle \operatorname {sen} x/x}$ que es cero para ${\displaystyle x=\infty }$. Se debe distinguir que ${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {sen} t}{t}}}$ es la Función sinc y también la de orden cero de la función esférica de Bessel: ${\displaystyle j_{n},y_{n}}$. Cuando ${\displaystyle x=\infty }$, se conoce como la Integral de Dirichlet.

Se define la función integral senoidal complementaria como:

${\displaystyle {\mbox{si}}(x)={\mbox{Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}(t)}{t}}\,dt}$

Gráfico de Ci(x) para 0 < x ≤ 8π.

Se define la función integral cosenoidal como:

${\displaystyle {\mbox{ci}}(x)=\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos(t)}{t}}\,dt}$

Las diferentes definiciones son:

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)}$ es la primitiva de ${\displaystyle \cos x/x}$ que es cero para ${\displaystyle x=\infty }$. Se tiene:

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}$