Interpolación lineal

En una tabla se representan algunos valores de la función, pero no todos. En ocasiones, nos interesa el valor de la función para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla; en este caso, podemos tomar el más próximo al buscado o aproximarnos un poco más por interpolación. La interpolación casi siempre nos dará un pequeño error respecto al valor de la función verdadero, pero siempre será menor que tomar el valor más próximo de los que figuran en la tabla. Veamos cómo se calcula al valor de la función para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolación lineal.

Por la tabla sabemos que:

${\displaystyle y_{1}=f(x_{1})\,}$

y

${\displaystyle y_{2}=f(x_{2})\,}$

Queremos, pues, saber:

${\displaystyle y=f(x)\,}$

Siendo:

${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}\,}$

La interpolación lineal consiste en trazar una recta que pasa por (x1,y1) y (x2,y2), y = r(x) y calcular los valores intermedios según esta recta en lugar de la función y = f(x)

Para ello nos basamos en la semejanza de triángulos ${\displaystyle {\widehat {BAD}}}$ y ${\displaystyle {\widehat {CAE}}}$

esto es:

${\displaystyle {\frac {\;{\overline {AC}}\;}{\overline {AB}}}={\frac {\;{\overline {CE}}\;}{\overline {BD}}}}$

despejando, tenemos:

${\displaystyle {\overline {BD}}={\frac {\;{\overline {AB}}\;}{\overline {AC}}}\;{\overline {CE}}}$

o lo que es lo mismo:

${\displaystyle (y-y_{1})={\frac {(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{1})}}\;(y_{2}-y_{1})}$

El valor buscado es:

${\displaystyle y}$

esto es:

${\displaystyle y={\frac {(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{1})}}\;(y_{2}-y_{1})+y_{1}}$

• Interpolación
• Interpolación polinómica
• Función lineal