Proceso isotérmico

Una expansión isotérmica es un proceso en el cual un gas se expande (o contrae), manteniendo la temperatura constante durante dicho proceso, es decir que T₁ = T₂ para los estados inicial (1) y final (2) del proceso isotérmico. Aplicando el primer principio de la termodinámica se obtiene:

${\displaystyle dQ=dU-dW}$

Entonces integrando la expresión anterior, tomando como estado inicial el estado 1 y estado final el estado 2, se obtiene:

${\displaystyle \int _{1}^{2}\,dQ=\int _{1}^{2}\,dU-\int _{1}^{2}\,dW\qquad {\text{(1)}}}$

Por la definición de trabajo dada en mecánica se tiene que:

${\displaystyle dW={\vec {F}}\;\cdot \;d{\vec {r}}\;}$

Pero la fuerza ${\displaystyle {\vec {F}}\;}$ se puede expresar en función de la presión que se ejerce el gas, y el desplazamiento ${\displaystyle d{\vec {r}}\;}$ se puede escribir como dx, entonces:

${\displaystyle dW={\vec {F}}\;\cdot \;d{\vec {r}}\;=PAdx}$

Pero Adx equivale a dV, el aumento en el volumen del gas durante esta pequeña expansión, entonces el trabajo efectuado por el gas sobre los alrededores como resultado de la expansión es:

${\displaystyle dW=PAdx=-PdV\qquad {\text{(2)}}}$

Ahora reemplazando (1) en (2) se puede integrar:

${\displaystyle \int _{1}^{2}\,dQ=\int _{1}^{2}\,dU+\int _{1}^{2}\,PdV\qquad {\text{(3)}}}$

Pero para integrar la tercera integral, es necesario conocer la forma de variación de la presión P con el volumen, durante el proceso tratado.

En el caso de tratar con gases ideales, se tendría la relación:

${\displaystyle PV=nRT\Longrightarrow \;P={\frac {nRT}{V}}\qquad {\text{(4)}}}$

Por lo tanto reemplazando (4) en (3) se tiene que:

${\displaystyle \int _{1}^{2}\,dQ=\int _{1}^{2}\,dU+\int _{1}^{2}\,{\frac {nRT}{V}}dV}$

Como los valores n y R son constantes para cada gas ideal, y en este caso la temperatura también es constante, éstas pueden salir fuera de la integral obteniéndose:

${\displaystyle \int _{1}^{2}\,dQ=\int _{1}^{2}\,dU+nRT\int _{1}^{2}\,{\frac {dV}{V}}}$

Ahora integrando:

${\displaystyle Q=[U]_{1}^{2}+nRT[\ln V]_{1}^{2}}$

${\displaystyle \Longrightarrow \;Q=U_{2}-U_{1}+nRT(\ln V_{2}-\ln V_{1})}$

${\displaystyle \Longrightarrow \;Q=U_{2}-U_{1}+nRT\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)\qquad {\text{(5)}}}$

Pero se sabe que la energía interna depende solo de la temperatura (Ver: La energía interna como función de la temperatura), y como en este proceso ésta se mantiene constante, no hay cambio en la energía interna del gas, por lo que la expresión (5) se reduce a:

${\displaystyle Q=U_{2}-U_{1}+nRT\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$

${\displaystyle \Longrightarrow \;Q=nRT\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$

${\displaystyle \Longrightarrow \;Q=W=nRT\ln \left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)}$

Por lo tanto, en una expansión isotérmica de un gas perfecto, el calor de entrada es igual al trabajo efectuado por el gas.

• Proceso termodinámico