Límite de Tsirelson

El primer límite de Tsirelson se obtuvo como un límite superior en la correlación de las medidas en la Desigualdad CHSH. Según él, si tenemos cuatro observables (hermíticos) dicotómicos ${\displaystyle A_{0}}$, ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle B_{0}}$, ${\displaystyle B_{1}}$ (i.e., dos observables para Alice y dos para Bob) que tienen como resultado ${\displaystyle +1,-1}$ cumpliendo que ${\displaystyle [A_{i},B_{j}]=0}$ para todos ${\displaystyle i,j}$, entonces:

${\displaystyle \langle A_{0}B_{0}\rangle +\langle A_{0}B_{1}\rangle +\langle A_{1}B_{0}\rangle -\langle A_{1}B_{1}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}}$

En contraste con el límite clásico (local), cuyo valor es 2. Este límite de Tsirelson se obtiene si Alice y Bob realizan medidas en un Qubit, el sistema no-trivial cuántico más simple.

Se han desarrollado variedad de pruebas para demostrar este límite, una de las más relevantes es la basada en la identidad de Khalfin-Tsirelson-Landau. Si definimos un observable:

${\displaystyle {\mathcal {B}}=A_{0}B_{0}+A_{0}B_{1}+A_{1}B_{0}-A_{1}B_{1}}$

y ${\displaystyle A_{i}^{2}=B_{j}^{2}=\mathbb {I} }$, i.e., si los valores de los observables están asociados a medidas proyectivas, entonces:

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{2}=4\mathbb {I} -[A_{0},A_{1}][B_{0},B_{1}]}$

Si ${\displaystyle [A_{0},A_{1}]=0}$ o ${\displaystyle [B_{0},B_{1}]=0}$, en el caso clásico ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2}$. En el caso cuántico, se tiene que ${\displaystyle \|[A_{0},A_{1}]\|\leq 2\|A_{0}\|\|A_{1}\|\leq 2}$ y el límite de Tsirelson ${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle \leq 2{\sqrt {2}}}$.

Obtener el límite de Tsirelson para una desigualdad de Bell cualquiera suele ser un problema muy difícil y que se resuelve caso a caso, aunque hay métodos numéricos para generar algunas interpretaciones.

Algunos valores obtenidos para límites de Tsirelson son:

Para desigualdades de Braunstein-Caves:

${\displaystyle \langle BC_{n}\rangle \leq n\cos(\pi /n)}$

Para desigualdades WWŻB:

${\displaystyle \langle WWZB_{n}\rangle \leq 2^{\frac {n-1}{2}}}$

Encontrar límites de Tsirelson para diferentes desigualdades es un problema abierto y difícil de afrontar en la Información Cuántica en la actualidad.

Se ha dedicado mucho tiempo a la investigación para encontrar algún principio físico que explique porqué las correlaciones entre sistemas cuánticos sólo aumentan en los límites de Tsirelson y nunca decrecen. Se han encontrado dos principios relacionados con esta tendencia: La no-trivialidad de la complejidad en la comunicación y la causalidad de la información. A través de la investigación en la correlación CHSH se está desarrollando la teoría de la no-localidad supercuántica.[2][3][4][5]

• Teorema de Bell
• Paradoja EPR
• Desigualdad CHSH