Lema de Riemann-Lebesgue

Bernhard Riemann presentó en 1854 una primera versión de este teorema. Se convierte en parte de una tesis sobre las series trigonométricas presentado a permitir que su defensa de la Universidad de Göttingen, titulado "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (Sobre la representación de una función por una serie trigonométrica) con esto Riemann define la integral que lleva su nombre. Es en el contexto de esta teoría de la integración para probar su teorema, con muchos otros hallazgos en series de Fourier. La memoria será publicada en 1867 por iniciativa de Richard Dedekind.

Si ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, entonces

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\xi \cdot x}dx\to 0}$, cuando ${\displaystyle |\xi |\to \infty }$.

Esto es, la transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ tiende a cero, cuando ${\displaystyle \xi }$ tiende a infinito.

Consideraremos el caso particular ${\displaystyle n=1}$, la prueba en otras dimensiones es muy similar. Sea ${\displaystyle f}$ una función suave de soporte compacto, entonces por integración por partes en cada variable se obtiene

${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-i\xi x}dx\right|=\left|-{\frac {f(x)e^{-i\xi x}}{i\xi }}+\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{i\xi }}f'(x)e^{-i\xi x}dx\right|=\left|\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{i\xi }}f'(x)e^{-i\xi x}dx\right|\leq {\frac {1}{|\xi |}}\int _{\mathbb {R} }|f'(x)|dx\rightarrow 0{\mbox{ cuando }}|\xi |\rightarrow \infty .}$

Si ${\displaystyle f}$ es una función integrable arbitraria, esta puede ser aproximada en la norma de ${\displaystyle L^{1}}$ por una función ${\displaystyle g}$ suave de soporte compacto. Escogamos tal función ${\displaystyle g}$ de manera que ${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}<\varepsilon }$. Entonces

${\displaystyle \limsup _{|\xi |\rightarrow \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{|\xi |\rightarrow \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-i\xi x}dx\right|+\limsup _{|\xi |\rightarrow \infty }\left|\int g(x)e^{-i\xi x}dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon ,}$

y puesto que esto es para cualquier ${\displaystyle \varepsilon >0}$, el teorema queda demostrado.

El lema de Riemann–Lebesgue puede ser usado para probar la validez de aproximaciones asintóticas para integrales. Tratamientos rigurosos del método de descenso más agudo y el método de la fase estacionaria, entre otros, están basados en este resultado.

• Iorio, Rafael (2001). Fourier analysis and partial differtial equations. Cambridge University Press.
• Linares, Felipe & Ponce, Gustavo (2008). Introduction to Nonlinear Dispersive Equations. Springer.