Ley de Ampère

${\displaystyle \oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=\iint _{S}{\vec {J}}\cdot d{\vec {S}}+{d \over dt}\iint _{S}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}}$

siendo el último término la corriente de desplazamiento, siempre y cuando la corriente sea constante y directamente proporcional al campo magnético, y su integral (E) por su masa relativa.

Esta ley también se puede expresar de forma diferencial, para el vacío:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}$

o para medios materiales

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$

Campo magnético creado por un hilo conductor de longitud infinita por el que circula una corriente ${\displaystyle I_{0}\,}$, en el vacío.

El objetivo es determinar el valor de los campos ${\displaystyle {\vec {H}}}$, ${\displaystyle {\vec {B}}}$ y ${\displaystyle {\vec {M}}}$ en todo el espacio.

Escribimos la ley de Ampère:

${\displaystyle \oint _{C}{\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}=I_{enc}}$.

• Utilizamos coordenadas cilíndricas por las características de simetría del sistema.
• Definimos una curva alrededor del conductor. Es conveniente tomar una circunferencia de radio ${\displaystyle \rho }$.
• El diferencial de longitud de la curva será entonces ${\displaystyle d{\vec {l}}=dl{\hat {\phi }}=rd\phi {\hat {\phi }}}$
• Para este caso, la corriente encerrada por la curva es la corriente del conductor: ${\displaystyle I\,}$

${\displaystyle \oint _{Circ}{\vec {H}}\cdot \rho \cdot d\phi {\hat {\phi }}=I_{0}}$.

• Como el sistema posee simetría radial (Es indistinguible un punto cualquiera de la circunferencia ${\displaystyle C\,}$ de otro que esté en otro ángulo sobre la misma curva), podemos decir que el campo ${\displaystyle {\vec {H}}}$ y el radio ${\displaystyle \rho }$ son independientes de la coordenada ${\displaystyle \phi \,}$. Por lo tanto pueden salir fuera de la integral. Integramos para toda la circunferencia, desde 0 a ${\displaystyle 2\pi }$.

${\displaystyle {\vec {H}}\cdot \rho \cdot \int _{0}^{2\pi }d{\vec {\phi }}=I_{0}}$.

• La integral que queda no es más que el perímetro de la circunferencia: ${\displaystyle 2\pi \rho \,}$.
• Despejamos ${\displaystyle {\vec {H}}}$ y nos queda en función de ${\displaystyle \rho }$. La dirección es en ${\displaystyle {\hat {\phi }}}$, por la regla de la mano derecha:

${\displaystyle {\vec {H}}(\rho )={\frac {I_{0}}{2\pi \rho }}{\hat {\phi }}}$

• Como estamos trabajando en el vacío, ${\displaystyle \mu =\mu _{0}}$, por lo tanto:

${\displaystyle {\vec {B}}(\rho )={\frac {\mu _{0}I_{0}}{2\pi \rho }}{\hat {\phi }}}$

• Y por la misma razón, en ausencia de materiales magnéticos:

${\displaystyle {\vec {M}}(\rho )=0}$