Ley de Stokes

En flujos de Stokes con un número de Reynolds muy bajo, la aceleración convectiva se puede considerar nula en los términos de la ecuación de Navier-Stokes. En ese caso las ecuaciones del flujo se igualan a las de un flujo incompresible y estacionario:[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla p=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\mu \,\nabla \times \mathbf {\boldsymbol {\omega }} ,\\&\nabla \cdot \mathbf {u} =0,\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} }$

Usando algunas propiedades del cálculo de vectores, estas ecuaciones se pueden mostrar como resultado de una ecuación de Laplace para la presión y cada uno de los componentes del vector vorticidad:[3]

${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0}$

${\displaystyle \nabla ^{2}p=0}$

Fuerzas adicionales como la gravedad o la flotabilidad no han sido tomados en cuenta, pero pueden ser fácilmente añadidos a la ecuación ya que son lineales, así que se puede aplicar la superposición lineal a las soluciones.

Para el caso de una esfera en un campo de velocidades, es ventajoso usar el sistema de coordenadas cilíndrico (${\displaystyle r,\varphi ,z}$). El eje (${\displaystyle z}$) pasa por el centro de la esfera y está alineado con la dirección del flujo, mientras que (${\displaystyle r}$) es el radio medido perpendicular al eje (${\displaystyle z}$). El origen es el centro es de la esfera. Debido a que el flujo es asimétrico respecto al eje z, éste es independiente del azimut (${\displaystyle \varphi }$).

En el sistema de coordenadas cilíndrico, el flujo incompresible puede ser descrito por la función del flujo de Stokes (${\displaystyle \psi }$), la cual está en función de (${\displaystyle r}$) y (${\displaystyle z}$):[4][5]

${\displaystyle v=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\qquad w={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

con (${\displaystyle v}$) y (${\displaystyle w}$) como componentes del flujo de velocidad en la dirección (${\displaystyle r}$) y (${\displaystyle z}$), respectivamente. La componente de la velocidad acimutal en la dirección φ es cero, en el caso simétrico. El flujo de volumen, a través de un tubo limitado por una superficie de valor constante (${\displaystyle \psi }$), es igual a (${\displaystyle 2\pi \ \psi }$) y es constante.[4]

Para el caso de un flujo simétrico por los ejes, el único componente no nulo del vector vorticidad (${\displaystyle \omega }$) es el azimutal (${\displaystyle \varphi }$), el componente (${\displaystyle \omega _{\varphi }}$).[6][7]

${\displaystyle \omega _{\varphi }={\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial r}}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)-{\frac {1}{r}}\ {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}}$

El operador de Laplace, aplicado a la vorticidad (${\displaystyle \omega _{\varphi }}$), aplicado en el sistema cilíndrico con simetría en los ejes:[7]

${\displaystyle \nabla ^{2}\omega _{\varphi }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r\ {\frac {\partial \omega _{\varphi }}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\omega _{\varphi }}{\partial z^{2}}}-{\frac {\omega _{\varphi }}{r^{2}}}=0.}$

De las dos ecuaciones anteriores, y con las apropiadas condiciones de contornos, para un campo de velocidad uniforme y paralela (${\displaystyle V}$) en la dirección (${\displaystyle z}$) y en una esfera de radio (${\displaystyle R}$), la solución resulta ser[8]

${\displaystyle \psi =-{\frac {1}{2}}\ V\ r^{2}\ \left[1-{\frac {3}{2}}{\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {R}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}\right)^{3}\right].}$

La fuerza viscosa por unidad de área σ, ejercida por el flujo en la superficie de la esfera, está en la dirección z sobre toda la esfera. Más exactamente, tiene el mismo valor en cualquier punto de la esfera:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {3\ \mu \ V}{2\ R}}\ \mathbf {e} _{z}}$

con (${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$) el vector unitario en la dirección (${\displaystyle z}$). Para otras formas que no sean la esférica, (${\displaystyle \sigma }$) no es constante a lo largo de la superficie del cuerpo. Integrando la fuerza viscosa por unidad de área (${\displaystyle \sigma }$) sobre la esfera resulta la fuerza de fricción (${\displaystyle F_{d}}$) de acuerdo con la ley de Stokes.