Ley del péndulo

Sea θ el ángulo en radianes que hace el brazo con la vertical y m la masa del péndulo, al extremo de su brazo, que se mueve con la velocidad : v = l·θ'.

La energía cinética del péndulo es:

(1)${\displaystyle E_{c}={\frac {mv^{2}}{2}}={\frac {ml^{2}\theta ^{\prime 2}}{2}}}$

Se puede tomar su energía potencial igual a:

(2)${\displaystyle E_{p}=-mgl\cos(\theta )}$

Este sistema no pierde energía, por la suma de energía cinética y potencia es constante (3)

(3)${\displaystyle E_{c}+E_{p}}$

Al derivar (3) se obtiene:

(4)${\displaystyle ml^{2}\theta ^{\prime }\theta ^{\prime \prime }+mgl\theta ^{\prime }\sin(\theta )=0}$

Se puede simplificar (4) por m·l (no nulos) y por θ' (no idénticamente nulo), lo que da:

(5)${\displaystyle l\theta ^{\prime \prime }+g\sin(\theta )=0}$

Como se supone que θ es siempre pequeño, se puede reemplazar sen θ por θ cometiendo un error del orden de θ³ (porque sin θ = θ + O(θ³)).

Entonces (5) equivale a:

(6)${\displaystyle l\theta ^{\prime \prime }+g\theta =0}$ o sea ${\displaystyle \theta ^{\prime \prime }=-\left(g/l\right)\theta }$

Un movimiento oscilatorio sigue la ley

${\displaystyle \theta =\theta _{M}\sin(\omega t+\phi )}$

lo que implica que

(7)${\displaystyle \theta ^{\prime \prime }=\omega ^{2}\theta }$

donde ${\displaystyle \omega }$es la velocidad angular de la ley y ${\displaystyle \theta _{M}}$ el ángulo máximo.

Identificando (6) y (7) se obtiene ${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {g}{l}}}$, es decir ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{l}}}}$.

Concluimos recordando que ${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}$.