Entero libre de cuadrados

Si q(n)=1, donde n es un entero que no contiene ningún cuadrado en su factorización y q(n)=0 donde n contiene uno o más cuadrados en su factorización, la función q(n) viene definida como ${\displaystyle q(n)=|\mu (n)|}$, siendo μ(n) la función de Möbius. Entonces, la función generadora de Dirichlet para los enteros libres de cuadrados es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q(n)}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}$

donde ζ(s) es la función zeta de Riemann. Esto puede ser visto fácilmente del producto de Euler

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}{\frac {(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}}=\prod _{p}(1+p^{-s}).}$

Si Q(x) indica el número de números libres de cuadrados menores o iguales que x, entonces

${\displaystyle Q(x)={\frac {6x}{\pi ^{2}}}+O({\sqrt {x}})}$

(véase π).
La densidad de los números libres de cuadrados es, por tanto,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {Q(x)}{x}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd edición). Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.

• Weisstein, Eric W. «Square free». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.