Método de Prony

Sea ${\displaystyle f(t)}$ una señal que consiste de ${\displaystyle N}$ muestras igualmente espaciadas. El método de Prony ajusta una función ${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$ a la función ${\displaystyle f(t)}$ observada

(1)${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(2\pi f_{i}t+\phi _{i})}$

Utilizando la identidad de Euler, ${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$ puede ser expresada de una forma que permite un cálculo más directo de los términos

(2)${\displaystyle {\hat {f}}(t)=\sum _{i=1}^{N}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(2\pi f_{i}t+\phi _{i})=\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{2}}A_{i}e^{\pm j\phi _{i}}e^{\lambda _{i}t},}$

Donde: ${\displaystyle \lambda _{i}=(\sigma _{i}\pm j\omega _{i})}$ son los eigenvalores (auto-valores o valores propios) del sistema. ${\displaystyle \sigma _{i}}$ son las componentes de atenuación. ${\displaystyle \phi _{i}}$ son las componentes de fase. ${\displaystyle f_{i}}$ son las componentes de frecuencia. ${\displaystyle A_{i}}$ son las componentes de amplitud de la serie. ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$

El método de Prony es una descomposición de una señal mediante ${\displaystyle M}$ exponenciales complejas a través del siguiente proceso:

Muestrear regularmente ${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$ de tal manera que ${\displaystyle n^{th}}$ de ${\displaystyle N}$ muestras pueda ser escrito como:

${\displaystyle F_{n}={\hat {f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}\mathrm {B} _{m}e^{\lambda _{m}t}}$

Si ${\displaystyle {\hat {f}}(t)}$ consiste de sinusoidales amortiguadas, entonces existirá un par de exponenciales complejas tales que:

${\displaystyle \mathrm {B} _{a}={\frac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j}}$

${\displaystyle \mathrm {B} _{b}={\frac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j}}$

${\displaystyle \lambda _{a}=\sigma _{i}+j\omega _{i}}$

${\displaystyle \lambda _{b}=\sigma _{i}-j\omega _{i}}$

donde

${\displaystyle \mathrm {B} _{a}e^{\lambda _{a}t}+\mathrm {B} _{b}e^{\lambda _{b}t}={\frac {1}{2}}A_{i}e^{\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}+j\omega _{i})t}+{\frac {1}{2}}A_{i}e^{-\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}-j\omega _{i})t}}$ ${\displaystyle =A_{i}e^{\sigma _{i}t}cos(\omega _{i}t+\phi _{i})}$

Debido a que la suma de exponenciales es la solución a un sistema de Ecuaciones en diferencias, la siguiente solución existirá:

${\displaystyle {\hat {f}}(\Delta _{t}n)=-\sum _{m=1}^{M}{\hat {f}}(\Delta _{t}(n-m))P_{m}}$

La clave del método de Prony es que los coeficientes en la ecuación en diferencias están relacionados con el siguiente polinomio

${\displaystyle \sum _{m=1}^{M+1}P_{m}x^{m-1}=\prod _{m=1}^{M}(x-e^{\lambda _{m}})}$

Por tanto, se pueden expresar los 3 pasos del método de Prony.

1) Construya y resuelva la ecuación matricial para los valores ${\displaystyle P_{m}}$:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{N}\\:\\F_{2N-1}\end{bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}F_{N-1}&..&F_{0}\\:&.&:\\F_{2N-2}&..&F_{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\:\\P_{M}\end{bmatrix}}}$

Notar que si ${\displaystyle N}$ ≠ ${\displaystyle M}$ puede que se necesite una matriz generalizada para encontrar los valores ${\displaystyle P_{m}}$

2) Luego de encontrar los valores de ${\displaystyle P_{m}}$ encuentre las raíces del polinomio

${\displaystyle x^{M}+\sum _{m=1}^{M}P_{m}x^{m-1}=0}$

Las ${\displaystyle m^{th}}$ raíces de este polinomio serán iguales a ${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$.

3) Con los valores ${\displaystyle e^{\lambda _{m}}}$, los valores de ${\displaystyle F_{n}}$ harán parte de un sistema de ecuaciones lineares el cual puede ser usado para encontrar los valores de ${\displaystyle \mathrm {B} _{m}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}F_{k_{1}}\\:\\F_{k_{M}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(e^{\lambda _{1}})^{k_{1}}&..&(e^{\lambda _{M}})^{k_{1}}\\:&.&:\\(e^{\lambda _{1}})^{k_{M}}&..&(e^{\lambda _{M}})^{k_{M}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathrm {B} _{1}\\:\\\mathrm {B} _{M}\end{bmatrix}}}$

donde ${\displaystyle M}$ valores únicos ${\displaystyle k_{i}}$ son usados. Es posible utilizar una matriz genérica si se utilizan más de ${\displaystyle M}$ muestras.

• Rob Carriere and Randolph L. Moses, “High Resolution Radar Target Modeling Using a Modified Prony Estimator,” IEEE Trans. Antennas Propogat., vol.40, pp. 13–18, January 1992.
• Hauer, J.F. et al. (1990). "Initial Results in Prony Analysis of Power System Response Signals". IEEE Transactions on Power Systems, 5, 1, 80-89