Método de hipérbola de Dirichlet

En teoría de números, el método de hipérbola de Dirichlet es una técnica para evaluar la suma:

\sum _{n\leq x}f(n)

donde $f,g,h$ son funciones multiplicativas con $f=g*h$ , y donde $*$ es la convolución de Dirichlet. Esto usa el hecho de que:

\sum _{n\leq x}f(n)=\sum _{n\leq x}\sum _{ab=n}g(a)h(b)=\sum _{a\leq {\sqrt {x}}}\sum _{b\leq {\frac {x}{a}}}g(a)h(b)+\sum _{b\leq {\sqrt {x}}}\sum _{a\leq {\frac {x}{b}}}g(a)h(b)-\sum _{a\leq {\sqrt {x}}}\sum _{b\leq {\sqrt {x}}}g(a)h(b).

Usos

Sea $\tau (n)$ la función de número de divisores. Puesto que $\tau =1*1$ , el método de hipérbola de Dirichlet ofrece el resultado[1][2]

\sum _{n\leq x}\tau (n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}).

Véase también

Función suma de divisores

Referencias

«Dirichlet hyperbola method». planetmath.org. Consultado el 12 de junio de 2018.
Tenenbaum, Gérald (16 de julio de 2015). Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory (en inglés). American Mathematical Soc. p. 44. ISBN 9780821898543.

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