Margen de error

Sea una encuesta simple del tipo si/no, ${\displaystyle P}$ es una muestra de ${\displaystyle n}$ encuestados tomados de una población de ${\displaystyle N{\text{, }}(n<<N)}$ que indica un porcentaje ${\displaystyle p}$ de respuestas si. Se desea saber cuan cercano se encuentra ${\displaystyle p}$ del verdadero resultado de la encuesta de toda la población ${\displaystyle N}$, sin que tener que realizar una. Si, hipotéticamente, realizáramos una encuesta ${\displaystyle P}$ sobre muestras subsecuentes de ${\displaystyle n}$ encuestados (tomados nuevamente de ${\displaystyle N}$), es que es de esperar que los resultados subsecuentes ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ se encuentren distribuidos en forma normal alrededor de ${\displaystyle {\overline {p}}}$. El margen de error describe la distancia dentro de la cual el porcentaje especificado de estos resultados es de esperar varíe de ${\displaystyle {\overline {p}}}$.

Según la regla 68-95-99.7, es de esperar que el 95% de los resultados ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ caerán dentro de unas dos desviaciones estándar (${\displaystyle \pm 2\sigma _{P}}$) en cualquiera de los lados del valor medio verdadero ${\displaystyle {\overline {p}}}$.  Este intervalo se denomina el intervalo de confianza, y el radio (la mitad del intervalo) es denominado el margen de error, correspondiente al un nivel de confianza del 95%.

Generalmente, con un nivel de confianza ${\displaystyle \gamma }$, una muestra de tamaño ${\displaystyle n}$ de una población que se sospecha posee una desviación estándar ${\displaystyle \sigma }$ tiene un margen de error

${\displaystyle MDE_{\gamma }=z_{\gamma }\times {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$

donde ${\displaystyle z_{\gamma }}$ representa el cuantil (comúnmente denominado una unidad tipificada), y ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$ es el error estándar.

Es de esperar que los valores  ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ distribuidos normalmente tengan una desviación estándar que depende de ${\displaystyle n}$. Cuanto menor es ${\displaystyle n}$, más amplio es el margen. Ello es denominado el error estándar ${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$.

Para un único resultado de nuestra encuesta, se supone que ${\displaystyle p={\overline {p}}}$, y que todos los resultados subsecuentes ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$ juntos tendrán una varianza ${\displaystyle \sigma _{P}^{2}=P(1-P)}$.

${\displaystyle {\text{Error estándar}}=\sigma _{\overline {p}}\approx {\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}\approx {\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}}$

Es de notar que ${\displaystyle p(1-p)}$ corresponde a la varianza de una distribución de Bernoulli.

Representación visual de la regla empírica basada en la distribución normal

Para un nivel de confianza ${\displaystyle \gamma }$, existe un intervalo de confianza correspondiente alrededor del ${\displaystyle \mu \pm z_{\gamma }\sigma }$ promedio, o sea, el intervalo ${\displaystyle [\mu -z_{\gamma }\sigma ,\mu +z_{\gamma }\sigma ]}$ dentro del cual los valores de ${\displaystyle P}$ deben encontrarse con una probabilidad ${\displaystyle \gamma }$. Los valores precisos de ${\displaystyle z_{\gamma }}$ se obtienen a partir de la función cuantil de la distribución normal (la cual es aproximada por la regla 68-95-99.7).

Además, se debe notar que ${\displaystyle z_{\gamma }}$ se encuentra indefinido para ${\displaystyle |\gamma |\geq 1}$, o sea, ${\displaystyle z_{1.00}}$ es indefinido, ya que es ${\displaystyle z_{1.10}}$.

${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle z_{\gamma }}$		${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle z_{\gamma }}$
0.68	0.994457883210		0.999	3.290526731492
0.90	1.644853626951		0.9999	3.890591886413
0.95	1.959963984540		0.99999	4.417173413469
0.98	2.326347874041		0.999999	4.891638475699
0.99	2.575829303549		0.9999999	5.326723886384
0.995	2.807033768344		0.99999999	5.730728868236
0.997	2.967737925342		0.999999999	6.109410204869

Gráficas Log-log de ${\displaystyle MOE_{\gamma }(0.5)}$ con respecto al tamaño de la muestra n y nivel de confianza γ. Las flechas muestran que el máximo margen de error para una muestra con un tamaño de 1000 es ±3.1% con un nivel de confianza del 95%, y ±4.1% con 99%.

La párabola insertada ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=p-p^{2}}$ ilustra la relación entre ${\displaystyle \sigma _{p}^{2}}$ para ${\displaystyle p=0.71}$ y ${\displaystyle \sigma _{max}^{2}}$ para ${\displaystyle p=0.5}$. En el ejemplo, MDE₉₅(0.71) ≈ 0.9 × ±3.1% ≈ ±2.8%.

Dado que ${\displaystyle \max \sigma _{P}^{2}=\max P(1-P)=0.25}$ para ${\displaystyle p=0.5}$, se puede fijar de manera arbitraria ${\displaystyle p={\overline {p}}=0.5}$, calcular ${\displaystyle \sigma _{P}}$, ${\displaystyle \sigma _{\overline {p}}}$, y ${\displaystyle z_{\gamma }\sigma _{\overline {p}}}$ para obtener el máximo margen de error para ${\displaystyle P}$ con un nivel de confianza de ${\displaystyle \gamma }$ y un tamaño de muestra ${\displaystyle n}$, aún antes de tener resultados concretos.  con ${\displaystyle p=0.5,n=1013}$

${\displaystyle MDE_{95}(0.5)=z_{0.95}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.95}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=1.96{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=0.98/{\sqrt {n}}=\pm 3.1\%}$

${\displaystyle MDE_{99}(0.5)=z_{0.99}\sigma _{\overline {p}}\approx z_{0.99}{\sqrt {\frac {\sigma _{P}^{2}}{n}}}=2.58{\sqrt {\frac {.25}{n}}}=1.29/{\sqrt {n}}=\pm 4.1\%}$

Ademásm es útil saber que para todo ${\displaystyle MDE_{95}}$

${\displaystyle MDE_{99}={\frac {z_{0.99}}{z_{0.95}}}MDE_{95}\approx 1.3\times MDE_{95}}$

Si una encuesta provee diversos resultados porcentuales (por ejemplo, por ejemplo una encuesta que mide una sola preferencia con opciones múltiples), el resultado más próximo al 50% tendrá el mayor margen de error. Por lo general, es este número el que se informa como el margen de error de toda la encuesta. Si por ejemplo la encuesta ${\displaystyle P}$ arroja como resultados ${\displaystyle p_{a},p_{b},p_{c}}$ ${\displaystyle 71\%,27\%,2\%,n=1013}$

${\displaystyle MDE_{95}(P_{a})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{a}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{a}(1-p_{a})}{n}}}=0.89/{\sqrt {n}}=\pm 2.8\%}$ (tal como se observa en la figura previa)

${\displaystyle MDE_{95}(P_{b})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{b}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{b}(1-p_{b})}{n}}}=0.87/{\sqrt {n}}=\pm 2.7\%}$

${\displaystyle MDE_{95}(P_{c})=z_{0.95}\sigma _{\overline {p_{c}}}\approx 1.96{\sqrt {\frac {p_{c}(1-p_{c})}{n}}}=0.27/{\sqrt {n}}=\pm 0.8\%}$

As a given percentage approaches the extremes of 0% or 100%, its margin of error approaches ±0%.

• Error de medición
• Error experimental
• Medidas de dispersión

• Sudman, Seymour and Bradburn, Norman (1982). Asking Questions: A Practical Guide to Questionnaire Design. San Francisco: Jossey Bass. ISBN 0-87589-546-8 (en inglés)
• Wonnacott, T.H.; R.J. Wonnacott (1990). Introductory Statistics (en inglés) (5th edición). Wiley. ISBN 0-471-61518-8.

• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Margen de error.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Errors, theory of», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
• Weisstein, Eric W. «Margin of Error». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.