Matriz antisimétrica
Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su opuesta, es decir vale la relación AT = -A.
Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas) :
es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:
Ejemplo
La matriz
es antisimétrica, ya que
La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto. Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimétrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.
Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre será 0
Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica
Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:
donde la parte antisimétrica es
Demostración |
Se utilizan las propiedades de la transposición.
Queda entonces demostrado por definición que es antisimétrica. |
Véase también
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Antisymmetric Matrix». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.