Matriz normal

Sea A matriz compleja cuadrada normal. Entonces puede expresarse, utilizando la descomposición de Schur, de esta manera:

${\displaystyle A=QUQ^{*}}$

Demostraremos que la matriz U es diagonal, por ahora solo sabemos que es triangular superior. Formalmente, definimos estas condiciones con números, ya que serán usadas en la demostración:

• ${\displaystyle a_{k1}=0}$ ${\displaystyle \forall k=2,..,n}$ (1)
• ${\displaystyle a_{k2}=0}$ ${\displaystyle \forall k=3,..,n}$ (2)
• ...
• ${\displaystyle a_{kn-1}=0}$ ${\displaystyle con\,\,k=n}$ (n-1)

Usando el hecho que A es normal:

${\displaystyle A^{*}A=(QUQ^{*})^{*}(QUQ^{*})=QU^{*}(Q^{*}Q)_{(a)}UQ^{*}=QU^{*}UQ^{*}}$

Idénticamente.

${\displaystyle (QUQ^{*})(QUQ^{*})^{*}=QUU^{*}Q^{*}}$

Postmultiplicando por ${\displaystyle Q}$ y luego premultiplicando por ${\displaystyle Q^{*}}$ obtenemos: ${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}$

Lo cual da lugar a estas dos multiplicaciones matriciales:

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}\\U^{*}U={\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\begin{bmatrix}{\overline {a_{11}}}&0&\cdots &0\\{\overline {a_{12}}}&{\overline {a_{22}}}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\{\overline {a_{1n}}}&\cdots &{\overline {a_{n-1n}}}&{\overline {a_{nn}}}\end{bmatrix}}\\UU^{*}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{nn}\end{bmatrix}}&&\end{matrix}}}$

Para nuestros propósitos, nos interesan los elementos de las diagonales.

${\displaystyle (U^{*}U)_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{a_{ij}\cdot {\overline {a_{ji}}}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ij}\|^{2}}}$

${\displaystyle (UU^{*})_{ii}=\sum _{j=1}^{n}{{\overline {a_{ij}}}\cdot a_{ji}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{ji}\|^{2}}}$

Ahora utilizamos un procedimiento inductivo para probar que esta matriz producto es diagonal (sus elementos son ceros fuera de la diagonal principal)

• Caso i=1: ${\displaystyle (U^{*}U)_{11}=(UU^{*})_{11}}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=\sum _{j=1}^{n}{\|a_{j1}\|^{2}}}$

Separamos el elemento diagonal de las sumatorias.

${\displaystyle \|a_{11}\|^{2}+\sum _{j=2}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=\|a_{11}\|^{2}+\sum _{j=2}^{n}{\|a_{j1}\|^{2}}}$

Usando (1)

${\displaystyle \sum _{j=2}^{n}{\|a_{1j}\|^{2}}=0}$

Por lo tanto, ${\displaystyle a_{1j}=0}$ ${\displaystyle \forall j=2,..,n}$