Media (matemáticas)

La media aritmética es un promedio estándar que a menudo se denomina promedio.

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}$

La media se confunde a veces con la mediana o moda. La media aritmética es el promedio de un conjunto de valores, o su distribución; sin embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda exponencial y de Poisson.

Por ejemplo, la media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es ${\displaystyle {\tfrac {34+27+45+55+22+34}{6}}\ ={\tfrac {217}{6}}\approx 36,167}$

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ es un conjunto de datos o media muestral y ${\displaystyle w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}}$ son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de ponderación, se define la media ponderada es decir que es relativa a esos pesos como:

${\displaystyle {\bar {X}}_{w}={\frac {X_{1}\cdot w_{1}+X_{2}\cdot w_{2}+\ldots +X_{n}\cdot w_{n}}{w_{1}+w_{2}+\ldots +w_{n}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{i}\cdot w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$

La media es invariante frente a transformaciones lineales, cambio de origen y escala, de las variables, es decir si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria que depende linealmente de X, es decir, Y = a·XL + b (donde a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen) se tiene que:

${\displaystyle {\bar {Y}}=a{\bar {X}}+b}$

La media geométrica es un promedio muy útil en conjuntos de números que son interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{1/n}}$

Por ejemplo, la media geométrica de la serie de números 1,2,3,4,5,9 (seis valores) es ${\displaystyle (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 9)^{1/6}=1080^{1/6}\approx 3,203}$

La media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia por unidad de tiempo).

${\displaystyle {\bar {x}}=n\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

Por ejemplo, la media armónica de los números: 34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:

${\displaystyle {\frac {6}{{\frac {1}{34}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{55}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{34}}}}\approx 33,018}$

Existen diversas generalizaciones de las medias anteriores.

Las medias generalizadas, también conocidas como medias de Hölder, son una abstracción de las medias cuadráticas, aritméticas, geométricas y armónicas. Se definen y agrupan a través de la siguiente expresión:

${\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}\right)^{1/m}}$

Eligiendo un valor apropiado del parámetro m, se tiene:

• ${\displaystyle m\rightarrow \infty }$ - máximo,
• ${\displaystyle m=2\,}$ - media cuadrática,
• ${\displaystyle m=1\,}$ - media aritmética,
• ${\displaystyle m\rightarrow 0}$ - media geométrica,
• ${\displaystyle m=-1\,}$ - media armónica,
• ${\displaystyle m\rightarrow -\infty }$ - mínimo.

Esta media puede generalizarse para una función monótona como la media-f generalizada:

${\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$

donde ${\displaystyle f:I\to I}$ sea una función inyectiva e ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ un intervalo. Escogiendo formas particulares para f se obtienen algunas de las medias más conocidas:

• ${\displaystyle f(x)=x\,}$ - media aritmética, ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ - media armónica, ${\displaystyle I=(0,\infty )}$
• ${\displaystyle f(x)=x^{m}\,}$ - media generalizada, ${\displaystyle I=(0,\infty )}$
• ${\displaystyle f(x)=\ln x\,}$ - media geométrica, ${\displaystyle I=(0,\infty )}$.

Para una función continua ${\displaystyle f}$ sobre un intervalo [a,b], se puede calcular el valor medio de función ${\displaystyle f}$ sobre [a,b] como:

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(t)dt}$

De hecho la definición anterior vale aun para una función acotada aunque no sea continua, con la condición de que sea medible.

La media muestral es una variable aleatoria, ya que depende de la muestra, si bien es una variable aleatoria en general con una varianza menor que las variables originales usadas en su cálculo. Si la muestra es grande y está bien escogida, puede tratarse la media muestral como un valor numérico que aproxima con precisión la media poblacional, que caracteriza una propiedad objetiva de la población. Se define como sigue, si se tiene una muestra estadística de valores ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:

${\displaystyle {\bar {X}}_{n}=T(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}={\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{n}}}$.

La media poblacional técnicamente no es una media sino un parámetro fijo que coincide con la esperanza matemática de una variable aleatoria. El nombre "media poblacional" se usa para significar qué valor numérico de una media muestral es numéricamente cercano al parámetro media poblacional, para una muestra adecuada y suficientemente grande.

• Real Academia Española (2001). Diccionario de la lengua española (vigésima segunda edición).