Medida (matemáticas)

Medida

Sea ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ un espacio medible.

Una medida sobre ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ es una aplicación ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {A}}\to [0,+\infty ]} (véase: recta real extendida) que verifica:

1. La medida del conjunto vacío es cero:

   ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$.

2. ${\displaystyle \sigma }$-aditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos disjuntos es igual a la suma de las medidas.

   ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\cap A_{m}=\emptyset \,\,\forall n\neq m}$

   ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})}$.

Propiedades de las medidas

1. Aditividad finita:

   ${\displaystyle A_{1},...,A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{i}\cap A_{j}=\emptyset \,\,\forall i\neq j}$

   ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})\quad \forall n\in \mathbb {N} }$

2. Monotonía:

   ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}:A\subset B}$

   ${\displaystyle \Rightarrow \mu (A)\leq \mu (B)}$

3. Continuidad creciente:

   ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\subseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N} }$

   ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})}$

4. Continuidad decreciente:

   ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}:A_{n}\supseteq A_{n+1}\,\,\forall n\in \mathbb {N} \,\,\land \,\,\mu (A_{1})<+\infty }$

   ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\lim _{n\to +\infty }\mu (A_{n})}$

5. ${\displaystyle \sigma }$-subaditividad: la medida de una unión numerable de conjuntos (no necesariamente disjuntos) es menor o igual a la suma de las medidas.

   ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {A}}}$

   ${\displaystyle \Rightarrow \mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (A_{n})}$.

Medida exterior

Una medida exterior sobre ${\displaystyle \Omega }$ es una aplicación ${\displaystyle \mu ^{*}:{\mathcal {P}}(\Omega )\to [0,+\infty ]}$ que verifica:

1. La medida del conjunto vacío es cero:

   ${\displaystyle \mu ^{*}(\emptyset )=0}$.

2. Monotonía:

   ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(\Omega ):A\subset B}$

   ${\displaystyle \Rightarrow \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)}$.

3. ${\displaystyle \sigma }$-subaditividad:

   ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },A_{n}\in {\mathcal {P}}(\Omega )}$

   ${\displaystyle \Rightarrow \mu ^{*}\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)\leq \sum _{n\in \mathbb {N} }\mu ^{*}(A_{n})}$.

Teorema de Carathéodory

Sea ${\displaystyle \mu ^{*}}$ una medida exterior sobre ${\displaystyle \Omega }$.

• La familia

  ${\displaystyle {\mathcal {M}}=\{E\in {\mathcal {P}}(\Omega ):\mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A\cap E)+\mu ^{*}(A\setminus E)\quad \forall A\in {\mathcal {P}}(\Omega )\}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )}$

es una ${\displaystyle \sigma }$-álgebra sobre ${\displaystyle \Omega }$

• ${\displaystyle \mu =\mu ^{*}|_{\mathcal {M}}}$ es una medida sobre ${\displaystyle \Omega }$.

En definitiva, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {M}},\mu )}$ es un espacio de medida.