Medida exterior

Una medida exterior sobre un cierto conjunto X es una función ${\displaystyle \mu }$ que asocia a cada subconjunto E de X un valor comprendido entre 0 e infinito (i.e., ${\displaystyle \mu$ :{\mathcal {P}}(X)\to [0,+\infty ]} ) y que satisface tres propiedades:

1. ${\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset X\Rightarrow \mu (E_{1})\leq \mu (E_{2})\;\;{\text{(monotonía)}}}$
2. ${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)\leq \sum _{k=1}^{\infty }\mu (E_{k})\;\;{\text{(subaditividad numerable)}}}$
3. ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$

Si hacemos ${\displaystyle E_{j}=\varnothing }$ para ${\displaystyle j\geq n}$ en la propiedad 2, podemos notar que una medida exterior es finitamente subaditiva.

El interés de las medidas exteriores recae en que son fáciles de construir y en que se puede aplicar el teorema de Carathéodory para construir, a partir de ellas, una medida en X.