Movimiento parabólico

Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:

1. ${\displaystyle \mathbf {v} =v_{0}\,\cos {\phi }\,\mathbf {i} +v_{0}\,\sin {\phi }\,\mathbf {j} }$
2. ${\displaystyle \mathbf {a} =-g\,\mathbf {j} }$

donde:

${\displaystyle v\,}$ es el módulo de la velocidad final.

${\displaystyle v_{0}\,}$es el módulo de la velocidad inicial.

${\displaystyle \phi \,}$ es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.

${\displaystyle g\,}$ es la aceleración de la gravedad.

${\displaystyle \mathbf {i} ,\mathbf {j} }$ son dos versores (vectores unitarios) en el plano.

La velocidad final se compone de dos partes:

${\displaystyle v_{0}\,\cos {\phi }}$ que se denomina como la velocidad horizontal del movimiento.

En lo sucesivo ${\displaystyle v_{x}\,}$

${\displaystyle v_{0}\,\sin {\phi }}$ que se denomina como la velocidad vertical del movimiento.

En lo sucesivo ${\displaystyle v_{y}\,}$

Se puede expresar la velocidad final de este modo:

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\,+v_{y}\,}$ : [ecu. 1]

Será la que se utilice, en los casos en los que no deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.

Ecuación de la posición

Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con la relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición puede ser encontrada integrando de la siguiente ecuación diferencial:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbf {v} ={\cfrac {d\mathbf {r} }{dt}}=v_{0x}\mathbf {i} +(v_{0y}-gt)\mathbf {j} \\\mathbf {r} (0)=x_{0}\mathbf {i} +y_{0}\mathbf {j} \end{cases}}}$

La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(v_{0x}\;{t}+x_{0})\,\mathbf {i} +\left(-{\frac {1}{2}}g{t^{2}}+v_{0y}\;t+y_{0}\right)\,\mathbf {j} }$

La trayectoria del movimiento parabólico está formada por la combinación de dos movimientos, uno horizontal de velocidad constante, y otro vertical uniformemente acelerado; la conjugación de los dos da como resultado una parábola.

Cuando consideramos el rozamiento la trayectoria es casi una parábola pero no exactamente. El estudio de la trayectoria en ese caso es considerado por la balística.

En teoría de la relatividad para que un móvil ejecute una trayectoria parabólica se requiere un campo de fuerzas no uniforme o una fuerza dependiente del tiempo. Sin embargo, es interesante estudiar un análogo aproximado que sería el de un móvil sometido a una fuerza constante que no sea paralela a la velocidad, esto ocasiona un movimiento cuasiparabólico. Este es, por ejemplo, con gran aproximación el movimiento que ejecuta un electrón u otra partícula cargada frente a una placa plana cargada uniformemente (condensador plano). La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante, alineada con la dirección X es:

${\displaystyle {\begin{cases}{\cfrac {d}{dt}}\left({\cfrac {v_{x}}{\sqrt {1-(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})/c^{2}}}}\right)={\cfrac {F}{m_{0}}}=w\\{\cfrac {d}{dt}}\left({\cfrac {v_{y}}{\sqrt {1-(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})/c^{2}}}}\right)=0\\v_{x}(0)=V_{0,x},\ v_{y}(0)=V_{0,y}\end{cases}}}$

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De la segunda de estas ecuaciones se obtiene que:

${\displaystyle {\frac {v_{y}}{\sqrt {1-(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})/c^{2}}}}=\beta _{y}\quad \Rightarrow \quad v_{y}(t)=\beta _{y}{\sqrt {\frac {c^{2}-v_{x}^{2}(t)}{c^{2}+\beta _{y}^{2}}}}}$

Siendo ${\displaystyle \beta _{y}}$ una constante de integración que debe determinarse a partir de las condiciones de contorno. De la segunda ecuación diferencial se obtiene:

${\displaystyle {\frac {v_{x}}{\sqrt {1-(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})/c^{2}}}}=wt+\beta _{x}\quad \Rightarrow \quad v_{x}(t)={\frac {wt+\beta _{x}}{\sqrt {1-{\cfrac {(wt+\beta _{x})^{2}+\beta _{y}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Integrando esta última ecuación se tiene:

${\displaystyle x(t)=x_{0}+{\frac {c^{2}}{w}}\left[{\sqrt {1-{\frac {\beta _{x}^{2}+\beta _{y}^{2}}{c^{2}}}}}-{\sqrt {1-{\frac {(wt+\beta _{x})^{2}+\beta _{y}^{2}}{c^{2}}}}}\right]}$

• Trayectoria balística
• Velocidad relativa
• Cinemática
• Caída libre

• Koetsier, Teun (1994), «§8.3 Kinematics», en Grattan-Guiness, Ivor, ed., Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences 2, Routledge, pp. 994-1001, ISBN 0-415-09239-6.
• Moon, Francis C. (2007). The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. Springer. ISBN 978-1-4020-5598-0.
• Eduard Study (1913) D.H. Delphenich translator, "Foundations and goals of analytical kinematics".
• «Analytical Ballistic Trajectories with Approximately Linear Drag». International Journal of Computer Games Technology (Hindawi Publishing Corporation) 2014: 1-13. 2014. doi:10.1155/2014/463489.