Ley Mu

Para una entrada ${\displaystyle x}$ determinada, la ecuación para la codificación según la Ley Mu es:[2]

${\displaystyle y=F(x)=\operatorname {sgn}(x){\frac {\ln(1+\mu |x|)}{\ln(1+\mu )}}~~~~-1\leq x\leq 1}$

en la cual:

${\displaystyle \mu =255}$: (8 bits) es el estándar usado en Norteamérica y Japón.

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$: es la función signo.

En el receptor, la expansión analógica viene dada por la inversa de la ecuación anterior:

${\displaystyle F^{-1}(y)=\operatorname {sgn}(y){1 \over \mu }{\Bigl (}(1+\mu )^{|y|}-1{\Bigr )}~~~~-1\leq y\leq 1}$

La Ley Mu, en su forma cuantificada digital, está definida en la Recomendación G.711. El comportamiento de la cuantificación se aproxima al de la codificación analógica mediante 16 segmentos rectilíneos, pero como los segmentos que pasan por el origen son colineales, éstos se consideran uno solo, quedando en total 15 segmentos, nombrándose éstos como 0, ±1 hasta ±7. Digitalmente, es aplicada una cuantificación no uniforme (logarítmica) a la señal original, en la cual existen pequeños pasos de cuantificación para los valores pequeños de amplitud y pasos de cuantificación grandes para los valores grandes de amplitud. Sin embargo, esta recomendación es poco clara acerca de cómo codificar los valores en el límite de un rango (por ejemplo, si a +31 le corresponde el número hexadecimal 0xEF o el 0xF0). Sin embargo, la Recomendación G.191[3] ofrece un ejemplo de código en lenguaje C para un codificador de Ley Mu lo que proporciona la codificación de la tabla adjunta a esta sección.[4] En este caso, cada muestra de señal de audio telefónico se convierte a su equivalente a 14 bits: un bit de signo "S" (0=negativo y 1=positivo) más 13 bits de magnitud. Antes de la determinación del segmento de cada muestra, el bit de signo se retira y se aplica un desplazamiento de 33 unidades al código lineal por lo que la mayor muestra es de 8192-33=8159 y la resolución es de 2/8159. Este desplazamiento permite convertir los extremos de cada segmento en números que son potencias de 2 lo que simplifica la determinación de segmento y de paso de cuantificación.[4] Finalmente, el conjunto de bits se comprime, sin afectar al bit de signo, como se indica seguidamente en la tabla:

Durante la compresión, como se observa en la tabla, se descartan los bits menos significativos de las señales grandes. La cantidad de estos bits es representada por tres bits, los cuales pasan al código comprimido después del bit de signo "S" junto con cada uno de los pasos de cuantificación indicados como "ABCD". El número de 3 bits representa cada uno de los segmentos en que se divide la curva ${\displaystyle F(x)}$. Antes de la transmisión de cada código comprimido, este es invertido, ya que las señales de baja amplitud tienden a ser más numerosas que las grandes. La inversión de los bits incrementa la densidad de los pulsos positivos en el medio de transmisión, lo que mejora el desempeño de la circuitería.[4] La descompresión del código recibido permite obtener la siguiente tabla:

El rango dinámico (RD) de la Ley Mu es la relación en decibelios de la mayor amplitud cuantificable y de la amplitud más pequeña que ocupa el primer segmento de la curva ${\displaystyle F(x)}$. Como la máxima magnitud es de 8159 y el valor mínimo de cuantificación del primer segmento es 31 (los cinco 5 bits menos significativos del primer renglón en la primera tabla), entonces el rango dinámico (RD) se calcula así:[5]

${\displaystyle {\mbox{RD}}=20\log {{\Bigl (}{\frac {8159}{31}}{\Bigr )}}=48,4\,{\mbox{dB}}}$

que es algo menor que el calculado para la Ley A.