Número de Graetz

En mecánica de fluidos, el Número de Graetz (Gz) es un número adimensional que caracteriza el flujo laminar en un conducto.

Etimología

El Número de Graetz se llama así en honor al físico Leo Graetz.

Descripción

Simbología

Simbología
Símbolo	Nombre	Unidad
$\mathrm {Gz}$	Número de Graetz
$\mathrm {Gz'}$	Número de Graetz para transferencia de masa
$\mathrm {Pr}$	Número de Prandtl
$\mathrm {Re}$	Número de Reynolds
$\mathrm {Sc}$	Número de Schmidt
$d$	Diámetro interno en tubos de sección circular o Diámetro hidráulico en conductos de sección transversal arbitraria	m
$L$	Longitud	m
$u$	Velocidad	m / s
${\dot {m}}$	Flujo másico	kg / s
$\rho$	Densidad	kg / m³
$\mu$	Viscosidad dinámica	Pa s
$\nu$	Viscosidad cinemática	m² / s
$D$	Difusividad	m² / s
$\alpha$	Difusividad térmica	m² / s
$c_{p}$	Calor específico a presión constante	J / (kg K)
$k$	Conductividad térmica	W / (m K)

Número de Graetz

Se define como:

$\mathrm {Gz} ={\frac {\text{Almacenamiento de calor}}{\text{Conducción de calor}}}$

Deducción
	1
Ecuaciones	$\mathrm {Gz} ={\frac {{\dot {m}}\ c_{p}\ \Delta T}{k\ \Delta T\ (d^{2}/L)}}$
Simplificando	$\mathrm {Gz} ={\frac {{\dot {m}}\ c_{p}}{k\ (d^{2}/L)}}$
Multiplicando ${\Bigl (}{\frac {d\ L}{d\ L}}{\Bigr )}^{2}$	$\mathrm {Gz} ={\Bigl (}{\frac {d\ L}{d\ L}}{\Bigr )}^{2}{\frac {{\dot {m}}\ c_{p}}{k\ (d^{2}/L)}}$
Simplificando	$\mathrm {Gz} ={\Bigl (}{\frac {L}{d}}{\Bigr )}^{2}{\Bigl (}{\frac {{\dot {m}}\ c_{p}}{k\ L}}{\Bigr )}$

$\mathrm {Gz} ={\Bigl (}{\frac {L}{d}}{\Bigr )}^{2}{\Bigl (}{\frac {{\dot {m}}\ c_{p}}{k\ L}}{\Bigr )}$

Deducción
	1	2	3	4	5
Ecuaciones	$\mathrm {Gz} ={\frac {{\dot {m}}\ c_{p}}{k\ L}}$	$k=\alpha \ \rho \ c_{p}$	${\dot {m}}=\rho \ u\ d^{2}$	$\mathrm {Re} ={\frac {u\ d}{\nu }}$	$\mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}$
Sustituyendo	$\mathrm {Gz} ={\frac {(\rho \ u\ d^{2})\ c_{p}}{(\alpha \ \rho \ c_{p})\ L}}$
Simplificando	$\mathrm {Gz} ={\frac {u\ d^{2}}{\alpha \ L}}$
Multiplicando ${\Bigl (}{\frac {\nu }{\nu }}{\Bigr )}$	$\mathrm {Gz} ={\frac {u\ d^{2}}{\alpha \ L}}{\Bigl (}{\frac {\nu }{\nu }}{\Bigr )}$
Ordenando	$\mathrm {Gz} ={\frac {d}{L}}{\Bigl (}{\frac {u\ d}{\nu }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {\nu }{\alpha }}{\Bigr )}$
Sustituyendo	$\mathrm {Gz} ={\cfrac {d}{L}}\mathrm {Re} \ \mathrm {Pr}$

$\mathrm {Gz} ={\cfrac {d}{L}}\mathrm {Re} \ \mathrm {Pr}$

Número de Graetz para transferencia de masa

Se define como:

$\mathrm {Gz'} ={\frac {\dot {m}}{\rho \ D\ L}}$

Cuando se utiliza en cálculos de transferencia de masa, el número de Prandtl se substituye por el número de Schmidt (Sc) que expresa el cociente entre la difusividad de momento y de masa.

Deducción
	1	2	3	4	5
Ecuaciones	$\mathrm {Gz'} ={\frac {\dot {m}}{\rho \ D\ L}}$	${\dot {m}}=\rho \ u\ d^{2}$	$\nu =\mu \ \rho$	$\mathrm {Re} ={\frac {u\ d}{\nu }}$	$\mathrm {Sc} ={\frac {\nu }{D}}$
Sustituyendo	$\mathrm {Gz'} ={\frac {(\rho \ u\ d^{2})}{\rho \ D\ L}}$
Multiplicando ${\Bigl (}{\frac {\mu }{\mu }}{\Bigr )}$	$\mathrm {Gz'} ={\frac {\rho \ u\ d^{2}}{\rho \ D\ L}}{\Bigl (}{\frac {\mu }{\mu }}{\Bigr )}$
Ordenando	$\mathrm {Gz'} ={\frac {d}{L}}{\Bigl (}{\frac {u\ d}{\mu \rho }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {\mu \rho }{D}}{\Bigr )}$
Sustiuyendo	$\mathrm {Gz'} ={\frac {d}{L}}{\Bigl (}{\frac {u\ d}{\nu }}{\Bigr )}{\Bigl (}{\frac {\nu }{D}}{\Bigr )}$
Sustituyendo	$\mathrm {Gz'} ={\frac {d}{L}}\mathrm {Re} \ \mathrm {Sc}$

$\mathrm {Gz'} ={\frac {d}{L}}\mathrm {Re} \,\mathrm {Sc}$

Datos: Q903886

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