Número de Skewes

En teoría de números, el número de Skewes es cualquiera de varios números e^x extremadamente grandes utilizados por el matemático sudafricano Stanley Skewes como cota superior para el número natural más pequeño x para el cual

\pi (x)>\operatorname {li} (x),

donde π es la función contador de números primos y li es la función integral logarítmica. Estas cotas desde entonces han sido mejoradas por otras. Hay un cruce cercano a $e^{727.95133}$ , aunque se desconoce si es el más pequeño.

Historia

John Edensor Littlewood, profesor de Skewes, había demostrado en 1914[1] que existen tales números (y por lo tanto, uno más pequeño entre ellos) y encontró que la diferencia $π$ ( x ) - $li$ ( x ) cambia de signos un número infinito de veces. Si tal número existe no estaba del todo claro en ese momento, ya que todos los résultats numériques disponibles parecían sugerir que $π$ ( x ) es siempre menor que $li$ ( x ). La prueba de Littlewood, sin embargo, no muestra ese número x : no es effective. De hecho, se basa en una alternativa: o el hipótesis de Riemann es falso, o la hipótesis de Riemann es verdadera y la prueba es entonces más difícil.[2] (Por lo tanto, se basó en el principio del tercero excluido).

Skewes demostró en 1933[3] que, asumiendo la hipótesis de Riemann como verdadera, existe tal número x, menor que ${\rm {e}}^{{\rm {e}}^{{\rm {e}}^{79}}}.$

Este límite superior es a veces llamado primer número de Skewes y es aproximadamente igual a $10^{10^{10^{34}}}.$

En 1955,[4] sin utilizar la hipótesis de Riemann, logró demostrar que existe tal x menor que $10^{10^{10^{963}}}.$

Este número a veces se denomina "segundo número de Skewes".

Estos (enormes) límites superiores se han reducido considerablemente desde entonces: sin la hipótesis de Riemann, Herman te Riele dio en 1987[5] el límite superior

7\times 10^{370}\

y una mejor estimación, 1.39822 × 10³¹⁶, fue descubierta en 2000 por Carter Bays y Richard H. Hudson.

Referencias

Littlewood, J. E. (1914). «Sur la distribution des nombres premiers». C. R. Acad. Sci. Paris (CRAS) 158: 263-266..
Davenport, Harold (2000). 30. «Multiplicative Number Theory». GTM (en inglés) (3 edición) (74): 172 de 182. ISBN 978-0-387-95097-6.
Skewes, S. (1933). «On the difference $π(x) - li(x)$ ». J. London Math. Soc. (en inglés) (Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J) 8: 277-283..
S. Skewes (1955). «On the difference $π(x) - li(x)$ (II)». Proc. London Math. Soc. (en inglés) (Liste des journaux scientifiques en mathématiques#P) 5: 48-70.
te Riele, H. J. J. (1987). «On the Sign of the Difference $π(x) - li(x)$ ». Math. Comp. (en inglés) (Liste des journaux scientifiques en mathématiques#M) 48: 323-328. doi:10.2307/2007893.

Datos: Q477645

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[1] Littlewood, J. E. (1914). «Sur la distribution des nombres premiers». C. R. Acad. Sci. Paris (CRAS) 158: 263-266..

[2] Davenport, Harold (2000). 30. «Multiplicative Number Theory». GTM (en inglés) (3 edición) (74): 172 de 182. ISBN 978-0-387-95097-6.

[3] Skewes, S. (1933). «On the difference $π(x) - li(x)$ ». J. London Math. Soc. (en inglés) (Liste des journaux scientifiques en mathématiques#J) 8: 277-283..

[4] S. Skewes (1955). «On the difference $π(x) - li(x)$ (II)». Proc. London Math. Soc. (en inglés) (Liste des journaux scientifiques en mathématiques#P) 5: 48-70.

[5] te Riele, H. J. J. (1987). «On the Sign of the Difference $π(x) - li(x)$ ». Math. Comp. (en inglés) (Liste des journaux scientifiques en mathématiques#M) 48: 323-328. doi:10.2307/2007893.