Número entero algebraico

En teoría de números, un número entero algebraico es un número complejo que es la raíz de algún polinomio mónico (siendo el coeficiente principal $1$ ) con coeficientes en ℤ. El conjunto de todos los enteros algebraicos es cerrado bajo la adición y multiplicación y también es un subanillo de números complejos denotado mediante $A$ . El anillo $A$ es la clausura integral de los enteros regulares $ℤ$ en los números complejos.

El anillo de los números enteros de un cuerpo numérico $K$ , denotado mediante $O K$ , es la intersección de $K$ y $A$ : este también puede ser caracterizado como el máximo orden del cuerpo $K$ .

Cada entero algebraico pertenece al anillo de enteros de algún cuerpo numérico. Un número $x$ es un entero algebraico si y solo si el anillo $ℤ[x]$ es finitamente generado como un grupo abeliano, es decir, como módulo $-ℤ$ .

Definiciones

Números enteros algebraicos representados como puntos rojos en el plano complejo. Los valores

0

,

1

e

i

están indicados.

Las siguientes definiciones de un número entero algebraico son equivalentes; Sea $K$ un cuerpo numérico (por ejemplo, una extensión finita de $ℚ$ , en otras palabras, $K = ℚ (θ)$ para algún $θ \in ℂ$ por el teorema del elemento primitivo.

$α \in K$ es un entero algebraico si existe un polinomio mónico $f (x) \in ℤ [x]$ tal que $f (α) = 0$ .
$α \in K$ es un entero algebraico si el polinomio mónico mínimo de $α$ sobre $ℚ$ pertenece a $ℤ [x]$ .
$α \in K$ es un entero algebraico si $ℤ [α]$ es un módulo $- ℤ$ finitamente generado.
$α \in K$ es un entero algebraico si existe un submódulo $- ℤ M \subset ℂ$ finitamente generado tal que $α M \subseteq M$ .

Los números enteros algebraicos son un caso especial de elementos integrales de una extensión de anillo. En particular, un entero algebraico es un elemento integral de una extensión finita $K / ℚ$ .

Propiedades

Para un número algebraico a existe un entero racional p de modo que na es un entero algebraico [1]

Entre los elementos de ℚ, los únicos que son enteros algebraicos son los números enteros 0, ±1, ±2, ...
la ecuación mínima de un entero algebraico es con coeficiente principal 1, los demás coeficientes son números enteros.
si m y n son enteros algebraicos tanto la suma como el producto de ellos son enteros algebraicos.
el conjunto de todos los enteros algebraicos forma un anillo conmutativo unitario.

Números p-ádicos

Notas y referencias

Hefez: Algebra I, IMPa, brasil

Bibliografía

Abraham Robinson, Numbers and Ideals, San Francisco Holden-Day, 1965.

Véase también

Referencias

Daniel A. Marcus, Number Fields, third edition, Springer-Verlag, 1977

Datos: Q646245

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[1] Hefez: Algebra I, IMPa, brasil