Número triangular

Cada número triangular T_n está definido por la siguiente fórmula:

${\displaystyle T_{n}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,}$

Demostración

Sean:

${\displaystyle T_{n}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,}$

${\displaystyle T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {(n-1)(n-1+1)}{2}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,}$

sumando:

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}={\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}+{\begin{matrix}{\frac {n(n-1)}{2}}\end{matrix}}\,}$

es decir:

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=n^{2}\,}$

quedando demostrado lo propuesto. Podemos comprobarlo con dos números triangulares consecutivos cualesquiera, por ejemplo, con T₃ = 6 y T₄ = 10.

Efectivamente,

${\displaystyle T_{4}+T_{3}=10+6=16=4^{2}\,}$ En la figura 2 (abajo, izquierda) se ve dicho cuadrado.

Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo

En esta figura se observa cómo del número triangular T₄ resulta el número oblongo de (5·4) puntos.

La suma de dos números triangulares iguales nos da un número oblongo, que conforma la figura de un romboide. Veamos su término general:

${\displaystyle T_{n}+T_{n}=2T_{n}=2{\begin{matrix}{\frac {n(n+1)}{2}}\end{matrix}}\,}$

${\displaystyle 2T_{n}=n(n+1)\,}$

que es la expresión buscada.

En 1796, el matemático y científico alemán Carl Friedrich Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares, hecho que describió en su diario con la misma palabra que usara Arquímedes en su famoso descubrimiento: "¡Eureka! num= Δ + Δ + Δ." Nótese que este teorema no implica que los números triangulares son diferentes (como ocurre en el caso de 20 = 10 + 10), ni tampoco que debe haber una solución con tres números triangulares que sean diferentes de cero. Se trata de un caso especial del teorema del número poligonal de Fermat.

El número triangular más grande que puede representarse con la fórmula 2^k − 1 es 4095 (ecuación de Ramanujan–Nagell).

El matemático polaco Wacław Sierpiński se preguntó si habría cuatro números triangulares distintos en la progresión geométrica. El matemático checo Kazimierz Szymiczek infirió que este planteamiento era falso. Los matemáticos chinos Jin-Hui Fang y Yong-Gao Chen, profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad Normal de Nankín, República Popular de China, demostraron esta inferencia en 2007.[1][2]

• Sobre Trygve Nagell (1895-1988), el matemático noruego que comprobó la fórmula que Srinivasa Ramanujan (1887-1920), matemático indio, ya había hipotetizado.
• Sobre Kazimierz Szymiczek
• Foto de Kazimierz Szymiczek