Nonio

La influencia de los distintos valores de k en un nonio, viene definido por lo siguiente. Definido los valos de k como un número natural:

${\displaystyle k_{i}=\left\{{\begin{array}{lcl}1&;\;si&i=1\\k_{i-1}+1&;\;si&i>1\end{array}}\right.}$

La separación S, viene determinada por:

${\displaystyle S_{i}=k_{i}u-A}$

para valores sucesivos de k:

${\displaystyle S_{i+1}=k_{i+1}u-A}$

${\displaystyle S_{i+1}=(k_{i}+1)u-A}$

${\displaystyle S_{i+1}=k_{i}u+u-A}$

${\displaystyle S_{i+1}=(k_{i}u-A)+u}$

${\displaystyle S_{i+1}=S_{i}+u}$

Esto es, si para un valor de k la separación de las divisiones del nonio es S, si k se incremente en una unidad, S aumenta en una unidad de la regla: u.

Del mismo modo podemos ver la influencia de k en la longitud total del nonio L, sabiendo que:

${\displaystyle L_{i}=(nk_{i}-1)u}$

Al incrementar k, tenemos:

${\displaystyle L_{i+1}=(nk_{i+1}-1)u}$

${\displaystyle L_{i+1}=(n(k_{i}+1)-1)u}$

${\displaystyle L_{i+1}=(nk_{i}+n-1)u}$

${\displaystyle L_{i+1}=nk_{i}u+nu-u}$

${\displaystyle L_{i+1}=(nk_{i}-1)u+nu}$

${\displaystyle L_{i+1}=L_{i}+nu}$

Si en un nonio de longitud L para un valor de k dado, si se incrementa k en una unidad, la longitud del nonio: L, se incremente en n veces la unidad de la regla u.

La apreciación A, solo depende de la unidad de la regla u, y del número de divisiones del nonio n, el valor de k no influye

${\displaystyle A={\cfrac {u}{n}}}$

La apreciación: A es independiente de la variable de extensión: k.

El planteamiento, como función, de los distintos valores que definen un nonio, permite ver claramente sus dimensiones y las posibles variantes que admite. Los valores u y n los consideraremos parámetros.

Esto define la apreciación A:

${\displaystyle A={\cfrac {u}{n}}}$

El valor de k está definido por:

${\displaystyle k_{i}=\left\{{\begin{array}{lcl}1&;\;si&i=1\\\\k_{i-1}+1&;\;si&i>1\end{array}}\right|\quad \longleftrightarrow \quad k_{i}=i}$

Siendo i un número natural, que tomaremos como variable independiente.

La separación entre divisiones del nonio: S está definida:

${\displaystyle S_{i}=\left\{{\begin{array}{lcl}{\cfrac {n-1}{n}}\;u&;\;si&i=1\\\\S_{i-1}+u&;\;si&i>1\end{array}}\right.}$

La longitud del nonio: L será:

${\displaystyle L_{i}=\left\{{\begin{array}{lcl}(n-1)u&;\;si&i=1\\\\L_{i-1}+nu&;\;si&i>1\end{array}}\right.}$

La definición de los distintos valores de u y n, que define una apreciación A, para i = 1 definen el nonio más sencillo para esos valores. Si incrementamos progresivamente i el nonio se irá extendiendo en longitud, con la misma apreciación, presentando las distintas opciones posibles, en función de i.

El primer ejemplo visto con anterioridad corresponde a 10 divisiones; con n = 10, tenemos que:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=10\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{10}}=0,1mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(1\cdot 10-1)\;1mm=9mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1-{\cfrac {1}{10}}\right)1mm=0,9mm}$

Este nonio, a pesar de su sencillez, es dentro del sistema decimal el más difundido en todo tipo de instrumentos.

${\displaystyle 0,0\,}$	${\displaystyle 0,1\,}$	${\displaystyle 0,2\,}$	${\displaystyle 1,6\,}$	${\displaystyle 1,7\,}$

Y un buen ejemplo para comprender y adquirir cierta destreza en su manejo, antes de pasar a configuraciones más complejas.

En el caso de que k = 2, tendríamos:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=10\\k=2\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{10}}=0,1mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(2\cdot 10-1)\;1mm=19mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(2-{\cfrac {1}{10}}\right)1mm=1,9mm}$

un nonio de 19 mm de longitud y 10 divisiones, tendría la misma apreciación, que uno de 9 mm con 10 divisionas, en el doble de longitud, lo que facilitaría su lectura, al estar sus divisiones más separadas.

Otro ejemplo de nonio con n= 10 y k= 4 es el de la imagen.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=10\\k=4\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{10}}=0,1mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(4\cdot 10-1)\;1mm=39mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(4-{\cfrac {1}{10}}\right)1mm=3,9mm}$

Este caso de nonio en un calibre no es muy usual, siendo su característica más destacada la facilidad de lectura por la gran distancia entre sus divisiones.

En la imagen se ve un calibre con este nonio, cerrado, con lectura 0 mm.

Podemos ver otro ejemplo, que junto con el anterior, es el más utilizado en el sistema decimal. Un nonio de 19 de longitud y 20 divisiones, con lo que tendríamos:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=20\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{20}}=0,05mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(1\cdot 20-1)\;1mm=19mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1-{\cfrac {1}{20}}\right)1mm=0,95mm}$

La longitud del nonio de 10 divisiones y k = 2 y 20 divisiones y k = 1 es la misma: 19 mm, como puede verse, pero en este segundo caso las 20 divisiones dan una apreciación de 0,05. En el caso anterior es de 0,1, por la diferencia en el número de divisiones.

Para un calibre Pie de Rey es la mayor apreciación, dado que divisiones más pequeñas no serían apreciables a simple vista, y sería necesario un equipo óptico auxiliar.

Si consideramos la posibilidad con n=20 y k=2, obtendremos una nonio de mayor longitud con la misma apreciación, así:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=20\\k=2\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{20}}=0,05mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(2\cdot 20-1)\;1mm=39mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(2-{\cfrac {1}{20}}\right)1mm=1,95mm}$

En la imagen podemos ver este caso: la apreciación del instrumento es alta, 0,05mm, pero su lectura a simple vista resulta difícil. En la imagen puede verse en 3,50 mm y difícilmente podemos determinar si la lectura es 3,45 mm o 3,55 mm. El límite de la escala nonio viene determinado por la agudeza de la visión del usuario, que no suele superar 0,1 mm con ciertas garantías.

Un ejemplo muy práctico y poco corriente es el nonio de 40 divisiones y una constante k= 1, con lo que tendríamos:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=40\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{40}}=0,025mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(1\cdot 40-1)\;1mm=39mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1-{\cfrac {1}{40}}\right)1mm=0,975mm}$

Este nonio tiene una apreciación de 25 micras, cada cuatro divisiones del nonio es una décima de milímetro.

Veamos un nonio de gran apreciación, el de 50 divisiones, sobre una regla en milímetros.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=50\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{50}}=0,02mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(1\cdot 50-1)\;1mm=49mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1-{\cfrac {1}{50}}\right)1mm=0,98mm}$

Un nonio de 50 divisiones es el de la fotografía.

La apreciación del instrumento, una división del nonio, equivale a 0,02, cada cinco divisiones son 0,02 * 5 = 0,1. En el nonio o escala vernier, se puede ver que cada cinco divisiones están marcadas con un número: del 0 —que indica el fiel y comienzo de la escala— al 10, indicando las décimas de milímetro.

La segunda fotografía representa en detalle el nonio de la misma imagen, indicando la lectura: 3,58, con dos trazos rojos, uno indica el 3, el valor de la regla anterior al fiel, y la otra la cuarta marca después del 5 en el nonio.

Aun tratándose de una fotografía ampliada, el señalar una lectura con más precisión de 3,6 es difícil. Es fácil percatarse de las dificultades de este calibre para diferenciar medidas de esta precisión, y aunque sí se fabrican y comercializan calibres de este tipo, en la práctica, resultaría poco útil intentar realizar mediciones de más apreciación que 0,05 mm en un calibre a simple vista.

Por ejemplo para n = 12 y k = 1, tendremos:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1^{\circ }=60^{\prime }\\n=12\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {60^{\prime }}{12}}=5^{\prime }}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(1\cdot 12-1)\;1^{\circ }=11^{\circ }\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1-{\cfrac {1}{12}}\right)60^{\prime }=55^{\prime }}$

Según la ordenación de las divisiones puede tomar los siguientes aspectos:

Este sencillo Nonio o Vernier, resulta muy práctico con una apreciación de 5 minutos, se pueden agrupar las divisiones es una escala de 10, o en una escala de 15, 30, 45, 60, que en el sistema sexagésimas es muy utilizada.

Otro ejemplo sería: n = 15 y k = 1, tendremos:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1^{\circ }=60^{\prime }\\n=15\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {60^{\prime }}{15}}=4^{\prime }}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(1\cdot 15-1)\;1^{\circ }=14^{\circ }\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1-{\cfrac {1}{15}}\right)60^{\prime }=56^{\prime }}$

Diferenciando la forma de numerar las divisiones del nonio, podemos tener dos aspectos diferentes:

Un caso interesante es: n = 20 y k = 1, tendremos:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1^{\circ }=60^{\prime }\\n=20\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {60^{\prime }}{20}}=3^{\prime }}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(1\cdot 20-1)\;1^{\circ }=19^{\circ }\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1-{\cfrac {1}{20}}\right)60^{\prime }=57^{\prime }}$

Que se puede configurar, destacando algunas de sus divisiones de tres formas:

Con los valores: n = 30 y k = 1, tenemos el caso:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1^{\circ }=60^{\prime }\\n=30\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {60^{\prime }}{30}}=2^{\prime }}$

${\displaystyle L=(k\cdot n-1)\;u=(1\cdot 30-1)\;1^{\circ }=29^{\circ }\,}$

${\displaystyle S=\left(k-{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1-{\cfrac {1}{20}}\right)60^{\prime }=58^{\prime }}$

Configurado del siguiente modo:

El último caso con una apreciación de 2 minutos, señalando las divisiones múltiplos de 10, resulta cómodo de leer en el sistema decimal de numeración.

Como ejemplo tomaremos uno de cinco divisiones y k = 1, comparándolo con el ya analizado.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=5\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{5}}=0,2mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n+1)\;u=(1\cdot 5+1)\;1mm=6mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k+{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1+{\cfrac {1}{5}}\right)1mm=1,2mm}$

En primer lugar, es apreciable que la separación en este nonio es mayor que en el caso anterior, que las divisiones coinciden en sentido inverso, en el ejemplo sobre la división de la regla 100 mm podemos ver las sucesivas mediciones empleando los dos tipos de nonio.

Este nonio se traza desde el punto de medida hacia atrás, por lo que no es lo más indicado para una regla lineal, pero si es muy adecuado para un tambor. por ejemplo.

${\displaystyle 100,2\,}$	${\displaystyle 100,4\,}$	${\displaystyle 100,6\,}$	${\displaystyle 100,8\,}$	${\displaystyle 101,0\,}$
${\displaystyle 101,2\,}$	${\displaystyle 101,4\,}$	${\displaystyle 101,6\,}$	${\displaystyle 101,8\,}$	${\displaystyle 102,0\,}$

En este tipo de nonio, son n y k los parámetros que determinas sus dimensiones, pero a diferencia del primer caso visto, las divisiones se colocan en sentido opuesto al de avance de la corredera.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=10\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{10}}=0,1mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n+1)\;u=(1\cdot 10+1)\;1mm=11mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k+{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1+{\cfrac {1}{10}}\right)1mm=1,1mm}$

Las similitudes y las diferencias entre el nonio con: L = (kn - 1)u, y los que tienen L = (kn + 1)u nos permite disponer de una segunda opción para cada caso, definidos por n y k, podemos ver estos dos nonios en una misma regla.

En la figura se puede ver la división del punto de medida, señalada con el número cero, a la derecha del primer nonio con una separaración entre sus divisiones menos que las de la regla, de modo que cuando la corredera se desplaza hacia la derecha irán coincidiendo con una división de la regla sucesivamente.

El segundo nonio se extiende desde el punto de medida hacia la izquierda, la separación de sus divisiones es mayor que las de la regla, de modo que cuando la corredera se desplaza hacia la derecha irán coincidiendo sucesivamente con las divisiones de la regla, del mismo modo que en el primer caso.

Estas dos opciones de nonio, si bien la primera es la más difundía, debido a que puede ser trazado con una regla que comience desde cero, sin divisiones anteriores, como en un calibre pie de rey. El segundo caso tiene unas divisiones más separada y necesita divisiones en la regla anteriores a la unidad medida, como por ejemplo en un tambor circular.

En el primer caso su división de la izquierda define el punto de medida y el nonio se extiende hacia la derecha, en el segundo caso el punto de medida viene definido por su división derecha si el nonio se extiende hacia la izquierda, esto ha de ser tenido en cuenta sobre todo al utilizar un instrumento de medida que no nos es familiar, nuevo, o de construcción o diseño reciente.

Esta segunda configuración admite el mismo análisis que el primero, y pueden construirse todas las configuraciones para n y k, como en el primer caso. Veamos para n= 10 y k= 2.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=10\\k=2\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{10}}=0,1mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n+1)\;u=(2\cdot 10+1)\;1mm=21mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k+{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(2+{\cfrac {1}{10}}\right)1mm=2,1mm}$

Un nonio de 20 divisiones, con k= 1, da como resultado una nueva configuración de nonio.

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=20\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{20}}=0,05mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n+1)\;u=(1\cdot 20+1)\;1mm=21mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k+{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1+{\cfrac {1}{20}}\right)1mm=1,05mm}$

Con lo que tenemos una apreciación de 0,05mm.

Si tomamos 40 divisiones el resultado es:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=40\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{40}}=0,025mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n+1)\;u=(1\cdot 40+1)\;1mm=41mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k+{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1+{\cfrac {1}{40}}\right)1mm=1,025mm}$

En los nonios de n pequeño las diferencias de n+1 y n-1 son muy evidentes, pero a medida que n es mayor la diferencia es más sutil, como es fácil de ver.

Una configuración de nonio de gran apreciación, casi al límite de la capacidad de apreciación del ojo humano es el de 50 divisiones:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1mm\\n=50\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1mm}{50}}=0,02mm}$

${\displaystyle L=(k\cdot n+1)\;u=(1\cdot 50+1)\;1mm=51mm\,}$

${\displaystyle S=\left(k+{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1+{\cfrac {1}{50}}\right)1mm=1,02mm}$

Esta apreciación 0,02mm, dos centésimas de milímetro, efectivamente, es difícil de diferenciar a simple vista, y denota que no simple la construcción de instrumentos de gran apreciación consigue el fin buscado, debido a la agudeza de visión humana, la calidad del instrumento que tiene que garantizar ese grado de calidad, así como el estado de conservación del instrumento, etc.

Una escala nonio o vernier que merece un estudio especial es la que presentó Pierre Vernier en su libreo: La Construction, l’usage, et les propriétés du quadrant nouveau de mathématiques ya mencionado. Se trata de una escala de medición angular con una escala en grados sexagesimales, situando el cero en el punto vertical, y una escala nonio o vernier de 30 divisiones que abarca 31 grados de la regla.

Con lo que tenemos:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}u=1^{\circ }\\n=30\\k=1\end{array}}\right.}$

${\displaystyle A={\frac {u}{n}}={\frac {1^{\circ }}{30}}={\cfrac {60^{\prime }}{30}}=2^{\prime }}$

${\displaystyle L=(k\cdot n+1)\;u=(1\cdot 30+1)\;1^{\circ }=31^{\circ }\,}$

${\displaystyle S=\left(k+{\cfrac {1}{n}}\right)u=\left(1+{\cfrac {1}{30}}\right)1^{\circ }=1^{\circ }+2^{\prime }}$

Puede verse que la escala vernier crece en el sentido decreciente de la regla, la división 0 del vernier indica el punto de medida, y la fracción de grado se puede ver en la división del vernier, que coincide con una división de la regla desde la indicación cero hasta la sesenta, en sentido inverso al sentido creciente de la regla.

${\displaystyle 40^{\circ }}$

${\displaystyle 40^{\circ }\;10^{\prime }}$	${\displaystyle 40^{\circ }\;20^{\prime }}$

${\displaystyle 40^{\circ }\;30^{\prime }}$	${\displaystyle 40^{\circ }\;40^{\prime }}$

${\displaystyle 40^{\circ }\;50^{\prime }}$	${\displaystyle 41^{\circ }}$