Notación de Landau

La notación de Landau (Edmund Landau) se define de la siguiente forma:

Si f(x), g(x) son funciones complejas definidas en un entorno de un punto ${\displaystyle x_{0}}$, entonces

• ${\displaystyle f=O(g)\,\!}$ cuando ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$ si y sólo si existe un ${\displaystyle \epsilon >0}$ tal que ${\displaystyle |f(x)|\leq \epsilon |g(x)|}$ para todo ${\displaystyle x}$ en un entorno de ${\displaystyle x_{0}\,\!}$.
• ${\displaystyle f=o(g)\,\!}$ cuando ${\displaystyle x\rightarrow x_{0}}$ si y sólo si para todo ${\displaystyle \epsilon >0}$ tenemos que ${\displaystyle |f(x)|<\epsilon |g(x)|\,\!}$ para todo ${\displaystyle x}$ en un entorno de ${\displaystyle x_{0}\,\!}$.

Una versión un poco más restrictiva pero más manejable que la definición anterior es la siguiente:

Sean ${\displaystyle f(x)\,\!}$, ${\displaystyle g(x)\,\!}$ dos funciones definidas para ${\displaystyle x>x_{0}.\,\!}$ y sea ${\displaystyle g(x)\neq 0\ \ \forall x>x_{0}\,\!}$. Los símbolos

${\displaystyle f=o(g)\,\!}$ , ${\displaystyle f=O(g)\,\!}$

significan respectivamente que ${\displaystyle f(x)/g(x)\to 0\,\!}$ cuando ${\displaystyle x\to x_{0}\,\!}$, y que ${\displaystyle f(x)/g(x)\,\!}$ está acotado para ${\displaystyle x\,\!}$ suficientemente grande. La misma notación es usada cuando ${\displaystyle x\,\!}$ tiende a un límite finito o a ${\displaystyle -\infty \,\!}$, o también cuando ${\displaystyle x\,\!}$ tiende a su límite a través de una secuencia discreta de valores. En particular, una expresión es ${\displaystyle o(1)\,\!}$ o ${\displaystyle O(1)\,\!}$ si tal expresión tiende a cero o está acotada respectivamente.

Dos funciones ${\displaystyle f(x)\,\!}$ y ${\displaystyle g(x)\,\!}$ definidas en una vecindad de un punto ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ (finito o infinito) son llamadas asintóticamente iguales si ${\displaystyle f(x)/g(x)\to 1\,\!}$ cuando ${\displaystyle x\to x_{0}\,\!}$

Si las fracciones ${\displaystyle f(x)/g(x)\,\!}$, ${\displaystyle g(x)/f(x)\,\!}$ están acotadas en una vecindad de ${\displaystyle x_{0}\,\!}$ se dice que ${\displaystyle f(x)\,\!}$, ${\displaystyle g(x)\,\!}$ son del mismo orden cuando ${\displaystyle x\to x_{0}\,\!}$

Contexto de las propiedades

Sean ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \,\!}$ y supóngase que ${\displaystyle f\,\!}$ es una función definida sobre un intervalo finito o infinito ${\displaystyle a\leq x<b\,\!}$ y es integrable sobre cualquier intervalo ${\displaystyle (a,b')\,\!}$ con ${\displaystyle b'<b\,\!}$ podemos escribir

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\mathrm {d} t\ \ x\in (a,b')\,\!}$

Sea ${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots \,\!}$ una sucesión de números y sea

${\displaystyle U_{\nu }=u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{\nu }\ \ (\nu =0,1,\ldots )\,\!}$

la misma notación será utilizada para otras letras. Se tienen las siguientes propiedades:

1. Suponga que ${\displaystyle f(x)\,\!}$, ${\displaystyle g(x)\,\!}$ están definidas en ${\displaystyle a\leq x<b\,\!}$ e integrables sobre cualquier ${\displaystyle (a,b')\,\!}$, que ${\displaystyle g(x)\geq 0\,\!}$ y que ${\displaystyle G(x)\to +\infty \,\!}$ cuando ${\displaystyle x\to b\,\!}$. Si ${\displaystyle f(x)=o(g(x))\,\!}$ cuando ${\displaystyle x\to b\,\!}$, entonces también se tendrá que ${\displaystyle F(x)=o(G(x))\,\!}$
2. Sean ${\displaystyle \{u_{\nu }\},\ \{v_{\nu }\},\ \,\!}$ dos sucesiones de números, esta última positiva. Si ${\displaystyle \{u_{\nu }\}=o\{v_{\nu }\},\ \,\!}$ y ${\displaystyle V_{\nu }\to +\infty \,\!}$, entonces ${\displaystyle U_{\nu }=o(V_{\nu })\,\!}$
3. Suponga que la serie ${\displaystyle \sum v_{\nu }\,\!}$ converge, que los ${\displaystyle v\,\!}$'s son positivos, y que ${\displaystyle u_{\nu }=o(v_{\nu })\,\!}$. entonces${\displaystyle u_{\nu }+u_{\nu +1}+\cdots =o(v_{\nu }+v_{\nu +1}+\cdots )\,\!}$
4. Sea ${\displaystyle f(x)\,\!}$ una función positiva, monótona y finita definida para ${\displaystyle x\geq 0\,\!}$ y sea${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f\mathrm {d} t,\ \ \ F_{n}=f(0)+f(1)+\cdots +f(n).\,\!}$Entonces
   ${\displaystyle (i)}$ si ${\displaystyle f(x)\,\!}$ decrementa, ${\displaystyle F(n)-f_{n}}$ tiende a un límite finito
   ${\displaystyle (ii)}$ si ${\displaystyle f(x)\,\!}$ incrementa, ${\displaystyle F(n)\leq F_{n}\leq F(n)-f(n)_{n}\to +\infty }$
5. Sea ${\displaystyle f(x)\,\!}$ positiva, finita y monótona para ${\displaystyle x\geq 0\,\!}$. Si se cumple ${\displaystyle (i)}$ ${\displaystyle f(x)\,\!}$ incrementa y ${\displaystyle F(x)\to \infty \,\!}$ o ${\displaystyle (ii)}$ ${\displaystyle f(x)\,\!}$ incrementa y ${\displaystyle f(x)=o(F(x))\,\!}$, entonces ${\displaystyle F_{n}\,\!}$ es asintóticamente igual a ${\displaystyle F(n)\,\!}$ ${\displaystyle \,\!}$

• Cota superior asintótica
• Cota inferior asintótica
• Cota ajustada asintótica

• Trigonometric Series, vol. 1, A. Zygmund.