Nudo (matemática)

No es posible deformar de forma continua un nudo de trébol en su imagen especular.

Este nudo no es equivalente al anterior.

Intuitivamente, diremos que dos nudos son equivalentes si podemos deformar uno en el otro de forma continua sin romperlos. Dos intentos infructuosos de plasmar en una definición esta realidad física son:

• Pensar que este proceso podría realizarse mediante un homeomorfismo entre las imágenes. Pero como toda aplicación continua e inyectiva entre ${\displaystyle S^{1}}$ y su imagen es un homeomorfismo, todo nudo sería homeomorfo a la circunferencia canónica ${\displaystyle S^{1}}$ y, por tanto, a cualquier otro, haciendo imposible con este método la distinción de nudos.
• Pensar en realizarlo mediante un homeomorfismo de R³ que lleve una imagen en la otra. Pero hay nudos como el nudo de trébol y su imagen especular que no pueden ser físicamente convertidos uno en el otro, aunque exista un homeomorfismo del ambiente (la reflexión especular) que lleve uno en otro. La demostración de esta afirmación requiere herramientas no triviales.

Observamos que no basta con tener un homeomorfismo F de R³ que lleve f en f'. Ese sería el último paso de una película de la que necesitamos todos los pasos intermedios. Matemáticamente, esta película se plasma con una isotopía del ambiente F(-,t) que comienza con t=0 como identidad en R³ y termina en t=1 llevando la imagen del primer nudo en el segundo.

Dos nudos ${\displaystyle f,f':S^{1}\to \Re ^{3}}$ son equivalentes cuando existe una aplicación continua ${\displaystyle F:\Re ^{3}\times [0,1]\to \Re ^{3}}$ tal que:

i) ${\displaystyle F(-,0)=\mathrm {Id} _{\Re ^{3}}}$

ii) ${\displaystyle F(f(s),1)=f'(s)}$ para cada ${\displaystyle s\in S^{1}}$

iii) Cada ${\displaystyle F(-,t):\Re ^{3}\to \Re ^{3}}$, con ${\displaystyle t\in [0,1]}$, es un homeomorfismo.

Cuando se cumplen las condiciones anteriores decimos que existe una isotopía del ambiente que lleva f en f'.