Ondícula de Haar

En análisis funcional, los sistemas de Haar describen el conjunto de wavelets de Haar

${\displaystyle \{t\mapsto \psi _{n,k}(t)=\psi (2^{n}t-k);n\in \mathbb {N} ,0\leq k<2^{n}\}.}$

En términos del espacio de Hilbert, estos constituyen un sistema ortogonal completo para las funciones en el intervalo unidad. Hay un sistema de Rademacher relacionado, o suma de funciones de Haar, que es un sistema ortogonal pero no completo.[2][3]

El sistema de Haar (con la ordenación natural) es más que una base de Schauder para el espacio ${\displaystyle L^{p}[0,1]}$, con ${\displaystyle 1\leq p<+\infty }$. Esta base es incondicional para p > 1.

El wavelet de Haar tiene varias propiedades importantes:

1. Cualquier función real continua puede ser aproximada por combinaciones lineales de ${\displaystyle \phi (t),\phi (2t),\phi (4t),\dots ,\phi (2^{k}t),\dots }$ y las funciones que siguen. Esto se extiende a aquellos espacios de función donde cualquier función que contengan pueden ser aproximados por funciones continuas.
2. Cualquier función real continua puede ser aproximada por combinaciones lineales de la función constante, ${\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{k}t),\dots }$ y las funciones que siguen
3. La ortogonalidad en la forma

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{m}\psi (2^{m}t-n)\psi (2^{m_{1}}t-n_{1})\,dt=\delta _{m,m_{1}}\delta _{n,n_{1}}.}$

Aquí δ_i,j representa la delta de Kronecker. La function dual de ${\displaystyle \psi (t)}$ es ${\displaystyle \psi (t)}$ misma.

4. Las funciones Wavelet o escalares con diferente escala m tienen una relación funcional:

${\displaystyle \phi (t)=\phi (2t)+\phi (2t-1)}$

${\displaystyle \psi (t)=\phi (2t)-\phi (2t-1)}$

5. Las coeficientes de escala m puede ser calculados con los coeficientes de escala m+1:

si ${\displaystyle \chi _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\phi (2^{m}t-n)\,dt}$

y ${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(n,m)=2^{m/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{m}t-n)\,dt}$

entonces

${\displaystyle \chi _{w}(n,m)={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)+\chi _{w}(2n+1,m+1))}$

${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(n,m)={\sqrt {\frac {1}{2}}}(\chi _{w}(2n,m+1)-\chi _{w}(2n+1,m+1)).}$

La matriz de Haar de 2 x 2 que está asociada con el wavelet de Haar es

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Usando la transformada wavelet discreta, uno puede transformar cualquier secuencia ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$ de cualquier longitud en una secuencia de dos componentes vectoriales ${\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$.. Si una multiplica por la derecha cada vector con la matriz ${\displaystyle H_{2}}$, se obtiene el resultado ${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$ de una etapa de la transformada rápida de wavelet de Haar. Usualmente uno separa las secuencias s y d y continua con transformar la secuencia s.

Si se tiene una secuencia de longitud múltiplo de cuatro, se pueden construir bloques de 4 elementos y transformarlos de forma sencilla con la matriz de Haar de 4x4

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}$

La cual combina dos etapas de la transformada rápida del wavelet de Haar.

Compare con una matriz de Walsh, que es una matriz no localizada 1/-1.

La transformada de Haar es la más simple de las transformada wavelet. Esta transformada multiplica de forma cruzada una función con el wavelet de Haar con varios desplazamientos y expansiones. [4]

La transformada de Haar se deriva de la matriz de Haar. Un ejemplo de una matriz de Haar de 4x4 se muestra abajo.

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{\sqrt {4}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

La transformada de Haar puede ser pensada como un proceso de muestreo cuyas filas de la matriz de transformación actúan como muestras de resolución más y más finas.

Compare con la transformada de Walsh, que es también 1/–1, pero no es localizada.

• Wavelet
• Matriz de Walsh
• Transformada de Walsh
• Reducción de dimensión

• Haar A. Zur Theory orthogonal Function Systems', Mathematische Annalen, 69, pp 331–371, 1910.
• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1

• Implementación libre del filtrado de wavelet de Haar con demo interactivo