Onda S

La teoría analítica de las ondas S se remonta a la década de 1800s.[4] Comenzando con la relación tensión-deformación para un sólido isotrópico utilizando la notación de Einstein:

${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}e_{kk}+2\mu e_{ij}}$

Donde ${\displaystyle \tau }$ es la tensión, ${\displaystyle \lambda }$ y ${\displaystyle \mu }$ son los parámetros de Lamé (con ${\displaystyle \mu }$ el módulo de cizalladura), ${\displaystyle \delta _{ij}}$ es la delta de Kronecker, y se define el tensor de deformaciones

${\displaystyle e_{ij}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$

para un desplazamiento de la deformación u. Reemplazando esta segunda expresión en la primera se obtiene:

${\displaystyle \tau _{ij}=\lambda \delta _{ij}\partial _{k}u_{k}+\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)}$

La segunda ley de Newton en este caso da lugar a la ecuación homogénea de movimiento para la propagación de la onda sísmica:

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\partial _{j}\tau _{ij}}$

donde ${\displaystyle \rho }$ es la densidad. Insertando en la expresión el tensor de tensiones se obtiene:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}&=\partial _{i}\lambda \partial _{k}u_{k}+\partial _{j}\mu \left(\partial _{i}u_{j}+\partial _{j}u_{i}\right)\\&=\lambda \partial _{i}\partial _{k}u_{k}+\mu \partial _{i}\partial _{j}u_{j}+\mu \partial _{j}\partial _{j}u_{i}\end{aligned}}}$

Aplicando las identidades vectoriales y realizando ciertas aproximaciones se obtiene la ecuación de la onda sísmica en un medio homogéneo:

${\displaystyle \rho {\ddot {\boldsymbol {u}}}=\left(\lambda +2\mu \right)\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {u}})-\mu \nabla \times (\nabla \times {\boldsymbol {u}})}$

donde se ha utilizado la notación de Newton para la derivada temporal. Calculando el rotor de esta ecuación y aplicando identidades vectoriales se obtiene:

${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times {\boldsymbol {u}})-{\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(\nabla \times {\boldsymbol {u}}\right)=0}$

la cual es la ecuación de onda aplicada al rotor de u con una velocidad ${\displaystyle \beta }$ que cumple con

${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {\mu }{\rho }}}$

Ello describe a la propagación de la onda S. Aplicando la divergencia de la ecuación de la onda sísmica en un medio homogéneo, en vez del rotor, se obtiene la ecuación de propagación de la onda P. Las ondas SH estacionarias se definen mediante la ecuación de Helmholtz

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2}){\boldsymbol {u}}=0}$[5]

donde k es el número de onda.

• Onda longitudinal
• Ondas de Love
• Onda sísmica
• Onda superficial
• Onda de presión

• Shearer, Peter (1999). Introduction to Seismology (1st edición). Cambridge University Press. ISBN 0-521-66023-8.
• Aki, Keiiti; Richards, Paul G. (2002). Quantitative Seismology (2nd edición). University Science Books. ISBN 0-935702-96-2.
• Fowler, C. M. R. (1990). The solid earth. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38590-3.

• Esta obra contiene una traducción derivada de «S-wave» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.