Operador de proyección

Dichas transformaciones proyectan cualquier punto x del espacio vectorial a un punto del subespacio imagen de la transformación. En caso de que x pertenezca al subespacio imagen, la proyección no tiene efecto, dejando el punto x fijo.[2]

Por ejemplo, el operador P definido en R³ de la forma siguiente

${\displaystyle P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}}}$

es un operador que "proyecta" el espacio R³ sobre el espacio de dimensión 2 que consiste de los vectores cuya coordenada y es cero.

Esta definición abstracta, de "proyector" o "proyección" generaliza la idea gráfica intuitiva de proyección extendiéndola a cualquier tipo de espacio vectorial, incluyendo el caso de dimensión infinita donde no resulta posible una aproximación gráfica.

Sea V un espacio vectorial, ${\displaystyle P:V\to V}$ una proyección e ${\displaystyle I:V\to V}$ la aplicación identidad. Se verifica que Q=I-P es una proyección. Además, dado que P+Q=I todo vector puede ser descompuesto de la siguiente forma: ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {P}}({\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {Q}}({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}_{1}+{\boldsymbol {x}}_{2}}$.[3]

Para pasar del concepto de «proyección» al de «proyección ortogonal» es preciso que exista un instrumento que nos diga si dos vectores son ortogonales, es decir, perpendiculares. Este instrumento es un producto interior definido en el espacio vectorial. Todo producto interior define una norma. El espacio vectorial puede ser o no completo respecto a ella. Si lo es, pasamos a hablar de un espacio de Hilbert. En este espacio, los conceptos «ortogonal» y «proyección ortogonal» están dotados plenamente de sentido.

En general, dado un subespacio vectorial W de un espacio V, existen muchas proyecciones sobre V. Si el espacio es un espacio de Hilbert y se exige además que el operador P sea un autoadjunto, es decir

${\displaystyle \langle Px,y\rangle =\langle x,Py\rangle ,\quad x,y\in V}$

entonces la proyección sobre V es única. El término «operador de proyección ortogonal» significa «operador de proyección autoadjunto».

En física, el término «operador de proyección» es sinónimo con proyección ortogonal.

• N. Dunford and J.T. Schwartz, Linear Operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.
• Carl D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2000. ISBN 978-0-89871-454-8.