Ortoedro áureo

Valor de la diagonal espacial (entre los vértices opuestos).

Basándonos en el Teorema de Pitágoras, en particular en su extensión en el espacio, podemos calcular la diagonal espacial del ortoedro de la siguiente forma:

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

Siendo a, b y c los lados del ortoedro, substituimos por su valor y obtenemos:

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {(\varphi +1)^{2}+\varphi ^{2}+1^{2}}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {\varphi ^{2}+2\varphi +1^{2}+\varphi ^{2}+1^{2}}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2\varphi ^{2}+2\varphi +2}}}$

${\displaystyle Siendo:\,\varphi =\,{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx \,1,618033988749894848204586834365638117720309...}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2}+2{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}+2}}=\,{\sqrt {6+2{\sqrt {5}}}}}$

${\displaystyle Siendo:\,\left(1+{\sqrt {5}}\right)^{2}=1+2{\sqrt {5}}+5=6+2{\sqrt {5}}}$

${\displaystyle D\,=\,1+{\sqrt {5}}=\,2\varphi \,\approx \,3,2360679775}$

Ortoedro áureo con dimensiones en función de φ

De forma más elegante:

Vemos que:

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1\ }$

${\displaystyle \varphi ^{2}={\frac {(1+{\sqrt {5}})^{2}}{2^{2}}}={\frac {1+2{\sqrt {5}}+5}{2^{2}}}={\frac {6+2{\sqrt {5}}}{2^{2}}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

${\displaystyle \varphi +1={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}+{\frac {2}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Entonces:

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2\varphi ^{2}+2\varphi +2}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {2(\varphi +1)+2\varphi +2}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {4\varphi +4}}}$

${\displaystyle D\,=\,{\sqrt {4(\varphi +1)}}=\,{\sqrt {4\varphi ^{2}}}=\,2\varphi }$

Aplicando estos resultados nos encontramos con un ortoedro en el que sus lados miden:

${\displaystyle a=\varphi ^{2},\,b=\varphi ,\,c=(\varphi ^{2}-\varphi )=1\,}$

y cuya diagonal es ${\displaystyle D=2\varphi }$