Parámetros de Stokes

La esfera de Poincaré representa a los tres últimos parámetros de Stokes en coordenadas esféricas

En las ecuaciones siguientes y en la figura de la derecha se muestra la relación de los parámetros de Stokes a la intensidad y a los parámetros de la elipse de polarización.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}&=I\\S_{1}&=pI\cos 2\psi \cos 2\chi \\S_{2}&=pI\sin 2\psi \cos 2\chi \\S_{3}&=pI\sin 2\chi \end{aligned}}}$

Aquí ${\displaystyle pI}$, ${\displaystyle 2\psi }$ y ${\displaystyle 2\chi }$ son las coordenadas esféricas del vector tridimensional de coordenadas cartesianas ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3})}$. ${\displaystyle I}$ es la intensidad total del haz, y ${\displaystyle p}$ es el grado de polarización. El factor de dos antes de ${\displaystyle \psi }$ representa el hecho de que cualquier elipse de polarización es indistinguible de una rotada 180 °, mientras que el factor de dos antes de ${\displaystyle \chi }$ indica que una elipse es indistinguible de una con las longitudes de semiejes intercambiadas acompañadas por una rotación de 90 °. Los cuatro parámetros de Stokes se denotan a veces I, Q, U y V, respectivamente.

Dado el Stokes, se pueden resolver los parámetros para las coordenadas esféricas con las ecuaciones siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=S_{0}\\p&={\frac {\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}+S_{3}^{2}}}{S_{0}}}\\2\psi &=\mathrm {atan} {\frac {S_{2}}{S_{1}}}\\2\chi &=\mathrm {atan} {\frac {S_{3}}{\sqrt {S_{1}^{2}+S_{2}^{2}}}}\\\end{aligned}}}$

La onda plana monocromática es especificada por su vector de propagación, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ y las amplitudes complejas del campo eléctrico, ${\displaystyle E_{1}}$ y ${\displaystyle E_{2}}$, en una base ${\displaystyle ({\hat {\epsilon }}_{1},{\hat {\epsilon }}_{2})}$. Alternativamente, se puede especificar el vector de propagación, la fase, ${\displaystyle \phi }$ y el estado de polarización, ${\displaystyle \Psi }$, donde ${\displaystyle \Psi }$ es la curva trazada por el campo eléctrico en un plano fijo. Los estados de polarización más conocidos son lineales y circulares, que son casos degenerados del estado más general, una elipse.

Una manera de describir la polarización se da con los ejes semieje mayor y semieje menor de la elipse de polarización, la orientación y el sentido de rotación (véase la figura anterior). Los parámetros de Stokes ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle U}$, y ${\displaystyle V}$, proporcionan una descripción alternativa del estado de polarización que es experimentalmente conveniente, porque cada parámetro corresponde a una suma o diferencia de intensidades medibles. La siguiente figura muestra ejemplos de los parámetros de Stokes en estados degenerados.

Definiciones

Los parámetros de Stokes se definen por

${\displaystyle {\begin{matrix}I&\equiv &|E_{x}|^{2}+|E_{y}|^{2},\\I&=&|E_{a}|^{2}+|E_{b}|^{2},\\I&=&|E_{l}|^{2}+|E_{r}|^{2},\\Q&\equiv &|E_{x}|^{2}-|E_{y}|^{2},\\U&\equiv &|E_{a}|^{2}-|E_{b}|^{2},\\V&\equiv &|E_{l}|^{2}-|E_{r}|^{2},\end{matrix}}}$

donde los subíndices se refieren a tres bases: la estándar base cartesiana (${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$), una base cartesiana girada a 45 ° (${\displaystyle {\hat {a}},{\hat {b}}}$) y una base circular (${\displaystyle {\hat {l}},{\hat {r}}}$). Se define la base circular para que ${\displaystyle {\hat {l}}=({\hat {x}}+i{\hat {y}})/{\sqrt {2}}}$. La siguiente figura muestra cómo los signos de los parámetros de Stokes se determinan por la helicidad y la orientación del semieje mayor de la elipse de polarización.

Para radiación coherente puramente monocromática, se puede demostrar que

${\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I^{2},\end{matrix}}}$

mientras que considerando toda radiación de haz (no coherente), se definen los parámetros de Stokes como cantidades promediadas, y la ecuación anterior se convierte en una desigualdad:[2]

${\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}\leq I^{2}.\end{matrix}}}$

Sin embargo, podemos definir la intensidad de una polarización total ${\displaystyle I_{p}}$, de modo que

${\displaystyle {\begin{matrix}Q^{2}+U^{2}+V^{2}=I_{p}^{2},\end{matrix}}}$

donde ${\displaystyle I_{p}/I}$ es la fracción de polarización total.

Definamos la intensidad compleja de polarización lineal como

${\displaystyle {\begin{matrix}L&\equiv &|L|e^{i2\theta }\\L&\equiv &Q+iU.\\\end{matrix}}}$

Bajo una rotación ${\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '}$ de la elipse de polarización, se puede demostrar que ${\displaystyle I}$ y ${\displaystyle V}$ son invariables, pero

${\displaystyle {\begin{matrix}L&\rightarrow &e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow &{\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow &{\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{matrix}}}$

Con estas propiedades, los parámetros de Stokes pueden ser considerados como constituyendo tres intensidades generalizadas:

${\displaystyle {\begin{matrix}I&\geq &0,\\V&\in &\mathbb {R} ,\\L&\in &\mathbb {C} ,\\\end{matrix}}}$

donde ${\displaystyle I}$ es la intensidad total, ${\displaystyle |V|}$ es la intensidad de polarización circular, y ${\displaystyle |L|}$ es la intensidad de polarización lineal. La intensidad total de polarización es ${\displaystyle I_{p}={\sqrt {L^{2}+V^{2}}}}$, la orientación y el sentido de rotación están dados por

${\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}$

Ya que ${\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}$ y ${\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}$, tenemos

${\displaystyle {\begin{matrix}|L|&=&{\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{matrix}}}$

En términos de los parámetros de la elipse de polarización, los parámetros de Stokes son

${\displaystyle {\begin{matrix}I_{p}&=&A^{2}+B^{2},\\Q&=&(A^{2}-B^{2})\cos(2\theta ),\\U&=&(A^{2}-B^{2})\sin(2\theta ),\\V&=&2ABh.\\\end{matrix}}}$

Invirtiendo la ecuación anterior da

${\displaystyle {\begin{matrix}A&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}+|L|)}}\\B&=&{\sqrt {{\frac {1}{2}}(I_{p}-|L|)}}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L)\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}$

• Cálculo de Mueller
• Cálculo de Jones
• Polarización (ondas)
• Modelo de cielo de Rayleigh
• Operador de Stokes

• E. Collett, Guía de campo de polarización, guías de campo SPIE vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
• E. Hecht, óptica, 2.ª edición, Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.

• parámetros de Stokes y polarización