Par Wilf–Zeilberger

En matemáticas, específicamente combinatoria, un par Wilf–Zeilberger, o par WZ, es un par de funciones que pueden ser utilizadas para comprobar identidates combinatorias. Los pares WZ se conocen por Herbert S. Wilf y Doron Zeilberger, y son un instrumento en la evaluación de muchas sumas implicando coeficientes binomiales, factoriales, y en general cualquier serie hipergeométrica. Una función contrapartida WZ puede ser utilizada para encontrar una suma equivalente más sencilla. Aunque encontrar los pares WZ manualmente es impracticable en la mayoría de los casos, el algoritmo de Gosper proporciona un método seguro para encontrar una función comtrapartida WZ y puede ser implementado en un programa de manipulación simbólico.

Definición

Dos funciones F y G forman un par WZ si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

$F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)$

$\lim _{M\to \pm \infty }G(n,M)=0$

Juntas, estas condiciones aseguran:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]=0$

Debido a que G es telescópica:

${\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[F(n+1,k)-F(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[G(n,k+1)-G(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }[G(n,M+1)-G(n,-M)]=0\end{aligned}}$

Por tanto:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n+1,k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k)$

Esto es:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k)=const.$

La constante no depende de n. Su valor puede ser encontrado sustituyendo n = n₀, para un n₀ particular.

Si F y G forman un par WZ, entonces satisfacen la relación:

$G(n,k)=R(n,k)F(n,k-1)$

Dónde $R(n,k)$ es una función racional de n y k y se llama el certificado de prueba WZ.

Referencias

Marko Petkovsek; Herbert Wilf and Doron Zeilberger (1996). A=B. AK Peters. ISBN 1-56881-063-6.; (1996). Un=B. AK Peters.
Tefera, Akalu (2010), "Tefera, Akalu (2010), «What Is . . . a Wilf-Zeilberger Pair?», AMS Notices 57 (04): 508-509..

Enlaces externos

El algoritmo de Gosper da un método para generar pares WZ cuando existen.
Generatingfunctionology proporciona detalles en el método WZ de certificación de identidad.

Datos: Q3147828

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