Paralelogramo de fuerzas

Las fuerzas se modelizan como vectores euclidianos o miembros de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. La primera suposición es que la resultante de dos fuerzas es de hecho otra fuerza, de modo que para dos fuerzas cualesquiera ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$ hay otra fuerza ${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$ suma vectorial de ambas.

La suposición final es que la resultante de dos fuerzas no cambia cuando se gira. Si ${\displaystyle R:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ es cualquier rotación (cualquier mapa ortogonal para la estructura de espacio vectorial habitual de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ con ${\displaystyle \det R=1}$), entonces para todas las fuerzas ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle R\left(\mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \right)=R\left(\mathbf {F} \right)\oplus R\left(\mathbf {G} \right)}$$

Considérense dos fuerzas perpendiculares ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ de longitud ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ de longitud ${\displaystyle b}$, siendo ${\displaystyle x}$ la longitud de ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$. Sean ${\displaystyle \mathbf {G} _{1}:={\tfrac {a^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)}$ y ${\displaystyle \mathbf {G} _{2}:={\tfrac {a}{x}}R(\mathbf {F} _{2})}$, donde ${\displaystyle R}$ es la rotación entre ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ y ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$, entonces ${\displaystyle \mathbf {G_{1}} ={\tfrac {a}{x}}R\left(\mathbf {F} _{1}\right)}$. Bajo la invariancia de la rotación, se obtiene

$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {x}{a}}R^{-1}\left(\mathbf {G} _{1}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {a}{x}}R^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}}$$

Del mismo modo, considérense dos fuerzas más ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}:=-\mathbf {G} _{2}}$ y ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}:={\tfrac {b^{2}}{x^{2}}}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)}$. Sea ${\displaystyle T}$ la rotación de ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ a ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$: ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{1}\right)}$, que visualmente se aprecia que ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}={\tfrac {b}{x}}T\left(\mathbf {F} _{2}\right)}$.

$${\displaystyle \mathbf {F} _{2}={\frac {x}{b}}T^{-1}\left(\mathbf {H} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right)={\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{1}\right)\oplus {\frac {b}{x}}T^{-1}\left(\mathbf {F} _{2}\right)=\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} }$$

Aplicando estas dos ecuaciones

$${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(\mathbf {H} _{1}\oplus \mathbf {H_{2}} \right)=\left(\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {G} _{2}\right)\oplus \left(-\mathbf {G} _{2}\oplus \mathbf {H} _{2}\right)=\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}}$$

Como ${\displaystyle \mathbf {G} _{1}}$ y ${\displaystyle \mathbf {H} _{2}}$ se encuentran en ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}}$, sus longitudes son iguales a ${\displaystyle x=\left|\mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}\right|=\left|\mathbf {G} _{1}\oplus \mathbf {H} _{2}\right|={\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{x}}}$

$${\displaystyle x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$$

lo que implica que ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}}$ tiene una longitud ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$, que es la longitud de ${\displaystyle a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}}$. Por lo tanto, para el caso en que ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}}$ y ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ son perpendiculares, ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}\oplus \mathbf {F} _{2}=\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}}$. Sin embargo, al combinar los dos conjuntos de fuerzas auxiliares, se utiliza la asociatividad de ${\displaystyle \oplus }$. Usando esta suposición adicional, se obtiene una prueba adicional a continuación.[3] [4]

Se modelizan las fuerzas como vectores euclidianos o miembros de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. La primera suposición es que la resultante de dos fuerzas es de hecho otra fuerza, de modo que para cualquier pareja de fuerzas ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$ hay otra fuerza ${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} \in \mathbb {R} ^{2}}$. Se supone la conmutatividad de su composición, ya que estas son fuerzas que se aplican simultáneamente, por lo que el orden no debería importar ${\displaystyle \mathbf {F} \oplus \mathbf {G} =\mathbf {G} \oplus \mathbf {F} }$.

Considerando la aplicación

$${\displaystyle (a,b)=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}\mapsto a\mathbf {e} _{1}\oplus b\mathbf {e} _{2}}$$

Si ${\displaystyle \oplus }$ es asociativa, entonces esta aplicación será lineal. Como también envía ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ a ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$ y ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ a ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$, también debe ser la aplicación identidad. Por lo tanto, ${\displaystyle \oplus }$ debe ser equivalente al operador de suma vectorial normal.[3][5]

La prueba matemática del paralelogramo de fuerza generalmente no se acepta como matemáticamente válida. Se desarrollaron varias pruebas (principalmente Duchayla's y Poisson), y estas también recibieron objeciones. Que el paralelogramo de fuerzas era verdadero no fue cuestionado; por que era cierto. Hoy se acepta el paralelogramo de fuerzas como un hecho empírico, no reductible a los principios de Newton. [3] [6]

• Newton's Mathematical Principles of Natural Philosophy, Axioms or Laws of Motion, Corollary I, en Wikisource
• Vector
• Fuerza neta
• Leyes de Newton