Poliedro convexo

Un poliedro es convexo si cumple que, si se traza un plano que contiene una de sus caras, el poliedro queda totalmente contenido en uno de los semiespacios y en el plano trazado.[1]

Para todo poliedro convexo de s caras existe una matriz de s filas y tres columnas M y un vector b de s componentes:

${\displaystyle \mathbf {M} \in {\mathcal {M}}_{s\times 3}(\mathbb {R} ),\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{s}}$

tales que las coordenadas cartesianas ${\displaystyle (x,y,z)}$ de los puntos de su interior satisfacen el sistema de desigualdades lineales:

${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {r} \leq \mathbf {b} ,\qquad \mathrm {i.e.} \sum _{j}M_{ij}r_{j}\leq b_{i}}$

donde ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$. Cada una de las s ecuaciones exige que los puntos se encuentren en el lado correcto del plano que contiene a la cara. Las soluciones ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$ de un sistema de la forma ${\displaystyle \mathbf {M} \cdot \mathbf {r} \leq \mathbf {b} }$ cuando los elementos de la matriz ${\displaystyle \mathbf {M} }$' y del vector ${\displaystyle \mathbf {b} }$ son números reales arbitrarios no es siempre un poliedro. Para serlo tanto ${\displaystyle \mathbf {M} }$ como ${\displaystyle \mathbf {b} }$ han de satisfacer ciertas condiciones.