Polinomio ciclotómico

• El grado del n-ésimo polinomio ciclotómico viene dado por la función φ de Euler: ${\displaystyle \varphi (m)=\#\{n\in \mathbb {N} |n\leq m\land \mathrm {mcd} (m,n)=1\}}$.

En particular, siempre será menor o igual a n.

• ${\displaystyle \forall n\geq 1}$, el polinomio ciclotómico ${\displaystyle \Phi _{n}(X)}$ es de coeficientes enteros, es decir, ${\displaystyle \Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]}$.

• ${\displaystyle \forall n\geq 1}$, el polinomio ciclotómico ${\displaystyle \Phi _{n}(X)\in \mathbb {Z} [X]}$, es irreducible en ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ y en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$.

• ${\displaystyle \forall p>1,}$ p primo, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$ tal que p no divide n, y ${\displaystyle \forall r\geq 1}$, se tiene: ${\displaystyle \Phi _{np^{r}}(X)=\Phi _{np}(X^{p^{r-1}}).}$

• ${\displaystyle \forall n\geq 3,}$ n impar, se tiene: ${\displaystyle \Phi _{2n}(X)=\Phi _{n}(-X).}$

• ${\displaystyle \forall p}$ primo y ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$ tal que p no divide n, se tiene: ${\displaystyle \Phi _{np}(X)={\frac {\Phi _{n}(X^{p})}{\Phi _{n}(X)}}.}$

El polinomio ${\displaystyle X^{n}-1}$ tiene por raíces todas las raíces n-ésimas de la unidad y toda raíz n-ésima de la unidad es raíz d-ésima primitiva para algún divisor d de n; de la misma manera, las raíces de ${\displaystyle \Phi _{d}(X)}$, para d divisor de n también son raíces de ${\displaystyle X^{n}-1}$. Se deduce pues la siguiente igualdad:

${\displaystyle X^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(X).}$

Mediante esta última, encontramos una primera manera recursiva de calcular los polinomios ciclotómicos:

${\displaystyle \Phi _{n}(X)={\frac {X^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{{}_{d<n}}}\Phi _{d}(X)}}.}$

Si queremos calcular el polinomio ciclotómico p-ésimo, donde p es un número primo, como p no es divisible por ningún número menor que él distinto de 1, todas las raíces de la unidad exceptuando el uno son raíces primitivas, por tanto:

${\displaystyle \Phi _{p}=\prod _{{}_{\zeta }}(X-\zeta )={\frac {X^{p}-1}{X-1}}=1+X+X^{2}+...+X^{p-1}.}$

Utilizando la función de Möbius, se obtiene otra manera no recursiva de calcular los polinomios ciclotómicos:

${\displaystyle \Phi _{n}(X)=\prod _{d|n}(X^{d}-1)^{\mu (n/d)}=\prod _{d|n}(X^{n/d}-1)^{\mu (d)}.}$

Calculemos los polinomios ciclotómicos de orden 2 y 3, al ser ambos números primos su cálculo es inmediato:

${\displaystyle \Phi _{2}={\frac {X^{2}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{2}-1}{X-1}}=X+1}$

${\displaystyle \Phi _{3}={\frac {X^{3}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{3}-1}{X-1}}=X^{2}+X+1}$

Ahora mediante las fórmulas anteriores y teniendo en cuenta que ${\displaystyle \Phi _{1}=X-1}$, calculamos los polinomios de orden mayor:

${\displaystyle \Phi _{4}={\frac {X^{4}-1}{\Phi _{1}\Phi _{2}}}={\frac {X^{4}-1}{X^{2}-1}}=X^{2}+1}$

${\displaystyle \Phi _{5}={\frac {X^{5}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{5}-1}{X-1}}=X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1}$

${\displaystyle \Phi _{6}={\frac {X^{6}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{3})\Phi _{2}}}={\frac {X^{6}-1}{(X^{3}-1)(X+1)}}={\frac {X^{3}+1}{X+1}}=X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{7}={\frac {X^{7}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{7}-1}{X-1}}=X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1}$

${\displaystyle \Phi _{8}={\frac {X^{8}-1}{\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{4}}}={\frac {X^{8}-1}{X^{4}-1}}=X^{4}+1}$

${\displaystyle \Phi _{9}={\frac {X^{9}-1}{\Phi _{1}\Phi _{3}}}={\frac {X^{9}-1}{X^{3}-1}}=X^{6}+X^{3}+1}$

${\displaystyle \Phi _{10}={\frac {X^{10}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{5})\Phi _{2}}}={\frac {X^{10}-1}{(X^{5}-1)(X+1)}}={\frac {X^{5}+1}{X+1}}=X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{11}={\frac {X^{11}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{11}-1}{X-1}}=X^{10}+X^{9}+X^{8}+X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1}$

${\displaystyle \Phi _{12}={\frac {X^{12}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{2}\Phi _{3}\Phi _{6})\Phi _{4}}}={\frac {X^{12}-1}{(X^{6}-1)(X^{2}+1)}}={\frac {X^{6}+1}{X^{2}+1}}=X^{4}-X^{2}+1}$

${\displaystyle \Phi _{13}={\frac {X^{13}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{13}-1}{X-1}}=X^{12}+X^{11}+X^{10}+X^{9}+X^{8}+X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1}$

${\displaystyle \Phi _{14}={\frac {X^{14}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{7})\Phi _{2}}}={\frac {X^{14}-1}{(X^{7}-1)(X+1)}}={\frac {X^{7}+1}{X+1}}=X^{6}-X^{5}+X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{15}={\frac {X^{15}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{5})\Phi _{3}}}={\frac {X^{15}-1}{(X^{5}-1)(X^{2}+X+1)}}={\frac {X^{10}+X^{5}+1}{X^{2}+X+1}}=X^{8}-X^{7}+X^{5}-X^{4}+X^{3}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{16}={\frac {X^{16}-1}{(\Phi _{1}\Phi _{2})\Phi _{4}\Phi _{8}}}={\frac {X^{16}-1}{(X^{2}-1)(X^{2}+1)(X^{4}+1)}}=X^{8}+1}$

${\displaystyle \Phi _{17}={\frac {X^{17}-1}{\Phi _{1}}}={\frac {X^{17}-1}{X-1}}=X^{16}+X^{15}+X^{14}+X^{13}+X^{12}+X^{11}+X^{10}+X^{9}+X^{8}+X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1}$

Calculemos ahora algunos polinomios ciclotómicos usando la función de Möbius

${\displaystyle \Phi _{4}={\frac {X^{4}-1}{X^{2}-1}}=X^{2}+1}$

${\displaystyle \Phi _{6}={\frac {(X^{6}-1)(X-1)}{(X^{3}-1)(X^{2}-1)}}=X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{8}={\frac {X^{8}-1}{X^{4}-1}}=X^{4}+1}$

${\displaystyle \Phi _{10}={\frac {(X^{10}-1)(X-1)}{(X^{5}-1)(X^{2}-1)}}=X^{4}-X^{3}+X^{2}-X+1}$

${\displaystyle \Phi _{12}={\frac {(X^{12}-1)(X^{2}-1)}{(X^{6}-1)(X^{4}-1)}}=X^{4}-X^{2}+1}$

Gráfica de las raíces duodécimas y las séptimas de uno.

En la imagen tenemos por un lado las raíces duodécimas de la unidad de ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y las raíces séptimas por otro. De esta manera:

• si n=12: las raíces primitivas son las ${\displaystyle \zeta ^{k}}$, con k=1,5,7,11 ya que solo para estos valores de k tenemos: mcd(12,k)=1.

• si n=7: las raíces primitivas son las ${\displaystyle \zeta ^{k}}$, con k=1,2,3,4,5,6 ya que 7 és un número primo y por lo tanto todos los k cumplen: mcd(7,k)=1.

Una de las aplicaciones de los polinomios ciclotómicos es en el contexto del álgebra, cuando se usa para construir cuerpos ciclotómicos. Sean K un cuerpo algebraicamente cerrado y k un subcuerpo de éste. Consideremos ${\displaystyle f(X)\in k[X]}$ un polinomio irreducible y ${\displaystyle \theta \in K}$ una raíz de ${\displaystyle f(X)}$. Resulta que ${\displaystyle k(\theta )\simeq k[X]/(f(X))}$ de manera que ${\displaystyle [k(\theta ):k]=\operatorname {gr} (f(X))}$, es decir, el grado del polinomio ${\displaystyle f(X)}$ será el grado de extensión ${\displaystyle k(\theta )}$ sobre k que es el mínimo cuerpo que contiene k y ${\displaystyle \theta }$.

Consideremos ahora, ${\displaystyle \zeta }$ una raíz n-ésima primitiva de la unidad. Entonces tendremos que ${\displaystyle [\mathbf {Q} (\zeta ):\mathbf {Q} ]=\operatorname {gr} (\Phi _{n}(X))=\varphi (n)}$, y, como en la generalización, tendremos que el grado de la extensión del cuerpo de los racionales junto a la raíz primitiva n-ésima será el grado del polinomio ciclotómico n-ésimo.

Por otro lado, también es importante remarcar el resultado siguiente: Sean ${\displaystyle m,n\geq 1}$ números naturales primos entre sí. Entonces, el producto de las dos raíces primitivas ${\displaystyle \zeta _{n}\zeta _{m}}$ es una raíz mn-ésima primitiva de la unidad y se satisfacen las igualdades: ${\displaystyle \mathbf {Q} (\zeta _{m},\zeta _{n})=\mathbf {Q} (\zeta _{m}\zeta _{n})}$ y ${\displaystyle \mathbf {Q} (\zeta _{m})\cap \mathbf {Q} (\zeta _{n})=\mathbf {Q} }$.

• Cuerpo ciclotómico

• Weisstein, Eric W. «Cyclotomic Polynomial». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Cyclotomic polynomial en PlanetMath.