Polinomios de Appell generalizados

• La elección de ${\displaystyle g(w)=w}$ da la clase de polinomios de Brenke.
• La elección de ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ da como resultado la serie de Sheffer de polinomios, que incluye los polinomios por diferencias generales, como la interpolación polinómica de Newton.
• La elección combinada de ${\displaystyle g(w)=w}$ y ${\displaystyle \Psi (t)=e^{t}}$ da la serie de Appell de polinomios.

Los polinomios de Appell generalizados tienen la representación explícita

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}.}$

La constante es

${\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\cdots g_{j_{k}}}$

donde esta suma se extiende sobre todas las particiones de ${\displaystyle n}$ en partes de ${\displaystyle k+1}$; es decir, la suma se extiende sobre todo ${\displaystyle \{j\}}$ de tal manera que

${\displaystyle j_{0}+j_{1}+\cdots +j_{k}=n.\,}$

Para los polinomios de Appell, esto se convierte en la fórmula

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}.}$

De manera equivalente, una condición necesaria y suficiente para que el núcleo ${\displaystyle K(z,w)}$ pueda escribirse como ${\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}$ con ${\displaystyle g_{1}=1}$ es que

${\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}$

donde ${\displaystyle b(w)}$ y ${\displaystyle c(w)}$ tienen la serie de potencias

${\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {d}{dw}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}$

y

${\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {d}{dw}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}.}$

Sustituyendo

${\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}$

inmediatamente da la relación de recurrencia.

${\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z).}$

Para el caso especial de los polinomios de Brenke, se tiene que ${\displaystyle g(w)=w}$ y, por lo tanto, todos los ${\displaystyle b_{n}=0}$, simplificando significativamente la relación de recursión.

• Polinomio q-diferencial

• Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlín. Library of Congress Card Number 63-23263.
• William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, (1945) American Mathematical Monthly, 52 pp. 297–301.
• W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) (1947) Duke Mathematical Journal, 14 pp. 1091–1104.