Politopo cíclico

La curva de momentos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ está definida por

${\displaystyle \mathbf {x}$ :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{d},\mathbf {x} (t):={\begin{bmatrix}t,t^{2},\ldots ,t^{d}\end{bmatrix}}^{T}} .[1]

El politopo cíclico de dimensión ${\displaystyle d}$ con ${\displaystyle n}$ vértices es la envolvente convexa

${\displaystyle C(n,d):=\mathbf {conv} \{\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})\}}$

de ${\displaystyle n>d\geq 2}$ distintos puntos ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{i})}$ con ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$ en la curva de momentos.[1]

La estructura combinatoria de este politopo es independiente de los puntos elegidos, y el politopo resultante tiene dimensión d y n vértices.[1] Su límite es un politopo simplicial (d − 1)-dimensional denotado Δ(n,d).

La condición de uniformidad de Gale[2] proporciona una condición necesaria y suficiente para determinar una cara en un politopo cíclico.

Sea ${\displaystyle T:=\{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\}}$. Entonces, si y solo si un subconjunto ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T_{d}\subseteq T}$ forma una faceta de ${\displaystyle C(n,d)}$. Dos elementos cualquiera en ${\displaystyle T\setminus T_{d}}$ están separados por un número par de elementos de ${\displaystyle T_{d}}$ en la secuencia ${\displaystyle (t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})}$.

Los politopos cíclicos son ejemplos de politopos vecinos, ya que cada conjunto de como máximo d/2 vértices forma una cara. Fueron los primeros politopos vecinos conocidos, y Theodore Motzkin conjeturó que todos los politopos vecinos son combinatoriamente equivalentes a los politopos cíclicos, pero ahora se sabe que esto es falso.[3][4]

El número de caras de dimensión i del politopo cíclico Δ(n,d) viene dado por la fórmula

${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$

y ${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$ determinan completamente ${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$ a través de las ecuaciones de Dehn-Sommerville.

El teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el máximo número posible de caras para una determinada dimensión y número de vértices: si Δ es una esfera simplicial de dimensión d − 1 con n vértices, entonces

${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.}$

La conjetura del límite superior para los politopos simpliciales fue propuesta por Theodore Motzkin en 1957 y probada por Peter McMullen en 1970. Victor Klee sugirió que la misma declaración debería ser válida para todas las esferas simpliciales y esto fue establecido en 1975 por Richard P. Stanley[5] utilizando la noción del anillo de Stanley-Reisner y métodos homológicos.

• Álgebra conmutativa combinatoria